- •§ 1.Основные понятия теории вероятностей.
- •1.1.Предмет теории вероятностей
- •Случайные события и их классификация
- •1.3. Действия над событиями
- •1.4. Случайные события. Алгебра событий.
- •1.5. Свойство статической устойчивости относительной частоты событий.
- •1.6. Статистическое определение вероятности.
- •1.7. Классическое определение вероятности
- •1.8. Элементы комбинаторики
- •1.10.Геометрическое определение вероятности
- •1.11. Аксиоматическое определение вероятности
- •1.12 Свойства вероятностей
- •1.13 Условные вероятности
- •1.14. Вероятность произведений событий. Независимость событий
- •1.15. Вероятность суммы событий
- •1.16. Формула полной вероятности. Формула Байеса (терема гипотез)
- •1.18. Независимые испытания схема Бернулли
- •1.19. Формула Бернулли
- •Глава 2. Случайные величины
- •2.1. Понятие случайной величины. Закон распределения с.В.
- •2.2. Закон распределения дискретной с.В. Многоугольник распределения
- •2.3. Функция распределения и её свойства. Функция распределения д.С.В.
- •2.4. Плотность распределения и её свойства
1.3. Действия над событиями
Введем основные операции над событиями, по аналогии операциями над множествами.
ОПР. Суммой событий А и В называемся событие С= А+В, состоящие в наступлении хотя бы одного из этих событий (т.е. или А , или В, или А и В вместе)
ОПР. Произведением событий А и В называемся событие С =А*В, состоящее в совместном наступлении всех этих событий (т.е. А и В одновременно).
ОПР. Разностью событий А и В называется событие С = А-В, наступающее тогда и только, когда наступит событие А. но не наступает событие В.
ОПР. Противоположным событию А называется событие Ā, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т.е. событие А не наступило).
ОПР. Два несовместных события, образующие полную группу, называются и противоположными. (Ā - противоположное событию А)
ОПР. Событие А влечет событие В (т.е. А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует, что происходит событие В.( )
ОПР. Если и , то События А и В называют равными.
События и действия над ними наглядно иллюстрируют диаграммы Эйлера – Венна :достоверное событие изображают прямоугольником; элементарные события – точками прямоугольника; случайные события – областью внутри него.(рис.)
A+B, А*В А-В
|
Операции над событиями обладают следующими свойствами:
А+В=В+А, А∙В = В∙А (переместительный)
А(В+С)=А∙В+А∙С; А∙В +С= (А+С)∙(В+С) (распределительный)
А+(В+С)=(А+В)+С; (АВ)С=А(ВС) (сочетательный)
А+А=А; А*А=А;
А+ = ; А* = А;
А+Ā= ; А*Ā= ;
= ; ;
; - законы де Моргана.
1.4. Случайные события. Алгебра событий.
Определим основные понятия ТВ по теоретико – множественному подходу Колмогорова А.Н. в 1933г.
Пусть производятся некоторые опыты со случайным исходом.
ОПР. Множество всех взаимоисключающих исходов опыта называется пространством элементарных событий.(ПЭС), а сами исходы - элементарными событиями.
ОРП. Случайным событием А(или просто событием) называют любое подмножества множества , если оно конечно или счетно (т.е. элементы множества можно пронумеровать с помощью множества натуральных чисел) .Элементарные события, входящие в подмножество А пространства , называются благоприятствующими событию А.
ОРП. Множество называется достоверным событием. Ему благоприятствует любое элементарное событие, которое обязательно произойдет в данном опыте. Пустое множество называется невозможным событием.
Пр.4. Опыт - 1раз бросаем игральную костью.
В этом случае ПЭС таково: или , где - элементарное событие, состоящее в выпадении i-ой грани с i очками. В данном случае - конечное множество.
Примером события А является, например, выпадение числа очков кратных 3,т.е. , т.е. событию А благоприятствуют элементарные события .
ПР.5. Опыт – стрельба по цели до первого попадания.
, где П – попадание в цель, Н - промах. Исходов теоретически в этом опыте бесконечно.
ПР.6. Опыт – наблюдение за временем безотказной работы некоторого агрегата.
В данном опыте можем получить любое ; время которое меняется непрерывно. ПЭС- , несчетно.
Над событиями проводят все операции множеств.
ОПР.1. Суммой или объединением двух событий и (обозначается А+В или )- это множество, которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из событий А и В.
2.Произведением двух событий двух событий и (обозначается АВ или )- это множество, которое содержит элементы, общие для событий А и В.
3.Разностью двух событий и (обозначается А-В или )- это множество, которое содержит элементы события А, не принадлежащие событию В.
4.Противоположное событию событие ( или дополнение множества А).
5.Событие А влечет событие В , если каждый элемент А содержится в В ( ).
ОПР. События А и В называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие , в противном случае они совместны.
ОПР. Несколько событий образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет всё ПЭС, а сами события несовместны, т.е. .
В случае несчетного пространства в качестве событий рассматриваются не все подмножества , а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемые алгебрами и - алгебрами множеств.
ОПР. Класс S подмножеств пространства называется алгеброй событий (множеств), если:
;
из вытекает, что ;
из вытекает, что
Заметим, что в условии 3 достаточно, требовать либо , либо , так как .
Алгебру событий образует, например, система подмножеств . Действительно, в результате применения любой из вышеприведенных операций к любым двум элементам класса S снова получается элемент данного класса: .
При расширении операций сложения и умножения на случай счетного множества S называется - алгеброй, если из следует .
Множество всех подмножеств множества , если оно конечно или счетно, образует алгебру.