- •§ 1.Основные понятия теории вероятностей.
- •1.1.Предмет теории вероятностей
- •Случайные события и их классификация
- •1.3. Действия над событиями
- •1.4. Случайные события. Алгебра событий.
- •1.5. Свойство статической устойчивости относительной частоты событий.
- •1.6. Статистическое определение вероятности.
- •1.7. Классическое определение вероятности
- •1.8. Элементы комбинаторики
- •1.10.Геометрическое определение вероятности
- •1.11. Аксиоматическое определение вероятности
- •1.12 Свойства вероятностей
- •1.13 Условные вероятности
- •1.14. Вероятность произведений событий. Независимость событий
- •1.15. Вероятность суммы событий
- •1.16. Формула полной вероятности. Формула Байеса (терема гипотез)
- •1.18. Независимые испытания схема Бернулли
- •1.19. Формула Бернулли
- •Глава 2. Случайные величины
- •2.1. Понятие случайной величины. Закон распределения с.В.
- •2.2. Закон распределения дискретной с.В. Многоугольник распределения
- •2.3. Функция распределения и её свойства. Функция распределения д.С.В.
- •2.4. Плотность распределения и её свойства
1.12 Свойства вероятностей
С1. Р( )=О –вер. невозможного события равна 0;
С2. - сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
С3 Р(А) 1 – вероятность любого события не превосходит единицы;
С4 Если ,т.е. событие А влечет за собой событие В, то ;
С5 Если события образуют полную группу несовместных событий, т.е. ,то .
Доказательство: С1. Так как , то согласно аксиоме А3 имеем , следовательно .
С2. Поскольку , то , а так как , то в силу аксиом А2 и А3 получаем .
С3. Из свойства С2 вытекает, что . С учетом аксиомы А1 получаем .
(Остальные самостоятельно)
ПР. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама».(0,31)
1.13 Условные вероятности
Пусть А и В – два события рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного из этих событий может влиять на возможность наступления другого. Для характеристики зависимости одних событий от других вводим понятие условной вероятности.
ОПР. Условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события В, причем , обозначим символом ,т.е.
(1.12)
Вероятность Р(В) в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.
Отметим, что условная вероятность, скажем , удовлетворяет аксиомам Колмогорова: , очевидно; , , если . Поэтому для условной вероятности справедливы все свойства из аксиом в п.1.12.
ПР. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из неё последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2- й шар окажется белым при условии, что первый был черным.
Решение. Событие В – 1-ый шар черным, событие А – 2-ой шар белый.
1 способ :
2 способ : , так как событие В произошло , то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых.
1.14. Вероятность произведений событий. Независимость событий
Из определения условной вероятности следует, что
(1.13)
Данное равенство называется правилом или теоремой умножения вероятностей. Это правило справедливо и для n случаев.
(1.14)
ПР. в коробке 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-ый шар будет белым, 2-ой- синим, 3-ий- черный(событие А)?
Решение. А1 – первым вытащили белый шар; А2 – вторым вытащили синий шар; А3– третий вытащили черный шар. Тогда данное событие запишем в виде .
По правилу умножения вероятностей . Но ; , так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события равно 3; , так как уже два шара вытащены. Следовательно .
ОПР. Событие А называется независимым от события В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. выполняется равенство
(1.15).
Лемма1.1 (о взаимной независимости событий). Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.
Доказательство: Из равенства (1.13),с учетом равенства (1.15), следует , т.е.
ОПР. Событие А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого события.
(1.16)
ПР. В урне 3 белых шара и 7 черных шаров. Взят один черный шар, затем возвращен в урну, после перемешивания взят другой – белый шар. Найти вероятность Р(АВ).