7.1.3. Примеры решения задач по механике

Задача 1. Движение тела массой 2 кг задано уравнением: , где путь выражен в метрах, время – в секундах. Найти зависимость ускорения от времени. Вычислить равнодействующую силу, действующую на тело в конце второй секунды, и среднюю силу за этот промежуток времени.

Дано:

Найти:

Решение: Модуль мгновенной скорости находим как производную от пути по времени:

Мгновенное тангенциальное ускорение определяется как производная от модуля скорости по времени:

Среднее ускорение определяется выражением:

.

После подстановки:

.

Равнодействующая сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона:

.

Тогда

:

Ответ: a(t) = 36t, F = 144 H, <F> = 72 H.

Задача 2. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30, движется тело массой 5 кг. К этому телу с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через блок, привязано тело такой же массы, движущееся вертикально вниз (рис. 1). Коэффициент скольжения между телом и наклонной плоскостью 0,05. Определить ускорение тел и силу натяжения нити.

Д

ано:

Найти:

Рис. 1

Решение: Покажем на рисунке силы, действующие на каждое тело. Запишем для каждого из тел уравнение движения (второй закон Ньютона):

В проекциях на выбранные оси координат:

Учитывая, что , где , получим систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

.

Искомое ускорение равно:

Вычислим ускорение а:

Силу натяжения найдем из первого уравнения системы:

Ответ:

Задача 3. Найти линейные ускорения движения центров тяжести шара и диска, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости равен 30. Начальная скорость тел равна нулю.

Д

ано:

Найти:

Рис. 2

Решение: При скатывании тела с наклонной плоскости высотой h его потенциальная энергия переходит в кинетическую поступательного и вращательного движения. По закону сохранения энергии:

, (1)

где I – момент инерции тела, m – масса.

Длина наклонной плоскости l связана с высотой соотношением (рис. 2):

. (2)

Линейная скорость связана с угловой:

. (3)

После подстановки (2) и (3) в (1), получим:

(4)

Так как движение происходит под действием постоянной силы (силы тяжести), то движение тел - равноускоренное. Поэтому:

, (5)

и

. (6)

Решая совместно (4), (5) и (6), получим:

(7)

Моменты инерции:

для шара:

для диска: .

Подставляя выражение для момента инерции в формулу (7), получим:

для шара:

для диска: .

Ответ: .