Тесты на надежность

В ходе исследования необходимо проводить оценку надежности выбранного уравнения, его параметров и показателей тесноты связи, т.к. расчеты данных показателей проводятся, как правило, по выборочным данным, и могут быть расхождения между генеральными и выборочными характеристиками (см. требования к оценкам).

F-mecm

F-mecm – проводится для оценивания качества уравнений регрессии. Он состоит в проверке нулевой гипотезы Н_о о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл зна­чений F-критерия Фишера.

F_факт определяется из соотношения зна­чений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

(10)

где п - число единиц совокупности;

m - число параметров при переменных х.

Второй вариант расчета соответствует парной линейной зависимости, т.к. m=1 .

F_табл - это максимально возможное значение критерия под влия­нием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть пра­вильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимает­ся равной 0,05 или 0,01.

• Если F_табл < F_факт, то Н_о - гипотеза о случайной природе оцени­ваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

• Если F_табл > F_факт, то гипотеза Н_о не от­клоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

t -mecm

Для оценки статистической значимости коэффициентов рег­рессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стъюдента и до­верительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается нулевая гипо­теза Н_о о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их от­личии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и кор­реляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

; ; (11)

Случайные ошибки (m_b, m_a, m_r) параметров линейной регрессии и коэффици­ента корреляции определяются по формулам:

(12)

(13)

(14)

где S²_ост – остаточная дисперсия на одну степень свободы;

σ²_х – дисперсия фактора х.

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики - t_табл и t_факт - принимаем или отвергаем гипотезу Н_о:

• Если t_табл < t_факт, то Н_о отклоняется, т.е. а, b и r не случайно от­личаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х.

• Если t_табл > t_факт, то гипотеза Но не откло­няется и признается случайная природа формирования а, b или r.

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

или (15)

Для расчета доверительного интервала определяют предельную ошибку ∆ для каждого показателя:

; (16)

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

; (17)

!!!Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцени­ваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одно­временно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение у_{прогноз} определяется путем подстановки в урав­нение регрессии у_х =а + bх соответствующего (прогнозного) зна­чения х_{прогноз}. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза (m_{y/прогноз}) и строится доверительный интервал прогноза (γ_{y/прогноз}):

(18)

где (19)

(20)

где (21)

8