Підставивши (1.42) і (1.43) в qm отримаємо

( 1.44)

тобто де – глибина проникнення поля в метал.

Обчислюючи Q_м, під знак інтеграла зазвичай підставляють вирази для поля Н, отримані для резонатора з ідеально провідними стінками.

Наведемо як приклад вирази для Q_м циліндричного резонатора довжиною із полем Е₀₁₀ і коаксіального λ/2-резонатора з полем Т:

Для циліндричного резонатора довжиною з полем Н_01р та коаксіального чвертьхвильового резонатора з полем Т

.

Остаточні вирази для добротності більшості інших видів коливань громіздкі. У цьому

випадку можна скористатися їхніми наближеними виразами. Обчислюючи, наприклад, інтеграли у формулі (1.44) за теоремою про середнє та беручи , що близько до дійсності, маємо простий вираз для орієнтовної оцінки добротності:

_(1.44.a)

З виразу (1.44.a) випливає, що Q_M ОР тим більше, чим більше його об’єм і менше опір і площа обмежуючої цей об’єм металевої поверхні. Площа поверхні тим менше, чим краще вона оброблена - тому її часто доводять до дзеркального блиску.

Найбільшу власну добротність мають циліндричні резонатори з коливаннями Н_01p. Це зумовлено для типу коливань Н₀₁ тим, що немає поздовжніх струмів на стінках циліндра, а, отже, і втрат у стиках, фланцях, контактах поршня тощо. Для підвищення добротності вибирають вид коливань з великим значенням р, наприклад Н₀₁₁₇; власна добротність таких резонаторів може становити кілька десятків тисяч у сантиметровому діапазоні хвиль. Резонатори з великою добротністю (вузькою резонансною кривою) використовують як високоточні хвилеміри та для стабілізації частоти автогенераторів.

У широкосмугових електровакуумних приладах використовують резонатори з невисокою добротністю (до декількох сотень).

• Зовнішня добротність Q_зн зумовлена втратами електромагнітної енергії в зовнішніх колах через елементи зв’язку. Через велику розмаїтість елементів зв’язку резонаторів з ЛП немає загальних аналітичних виразів для обчислення зовнішньої добротності. Їх отримано тільки для окремих найпростіших видів елементів зв’язку.

Н авантажену добротність визначають найчастіше експериментально (рис. 1.56) за допомогою формул

Q = f_РЕЗ /2f або (1.45)

де 2  смуга пропускання резонатора на рівні мінус 3 дБ (0,707 Е); g та b  провідності контуру, що еквівалентний резонатору, віднесені до хвильової провідності лінії, до якої підключено цей резонатор.

Із виразу (1.45) випливає, що добротність пропорційна швидкості зміни реактивної провідності В зі зміною частоти.

1.3.9.6. Резонатори складної форми. Квазістаціонарні резонатори

У квазістаціонарних резонаторах поля Е та Н просторово майже цілком розділені. Резонатори цього типу мають між близько розміщеними металевими поверхнями набагато

менші зазори, ніж довжина хвилі _v власних коливань. У цих зазорах і локалізоване електричне поле.

Тороїдний резонатор (ТP)

Конструкція ТР резонатора представлена на рис. 1.57.

Рис.1.57

У ТР, як і в будь-якому об'ємному резонаторі, може існувати безліч типів коливань. На практиці, як правило, використовується основний тип коливань, характерний тим, що електричне поле в основному зосереджене в центральній вузькій частині, а магнітне в периферійній розширеній. тобто. у даному випадку тороїдний резонатор подібний коливальному контуру, але з розподіленими параметрами. У цьому випадку для розрахунку його резонансної частоти зручно скористатися квазістаціонарним методом, у якому оперують еквівалентами Lэ і Сэ , а резонансна частота розраховується по формулі

(1.46)

Центральну частину можна розглядати як плоский конденсатор з

Еквівалентна індуктивність дорівнює,

де Ф= - потік вектору магнітної індукції

- напруженість магнітного поля при середньому радіусі

- площина поперечного перерізу.

- загальний струм у стінках резонатору, зчеплений з потоком Ф.

Таким чином,

.

Підставляючи и у формулу (1.46) отримаємо

де (1.47)

.

Резонансна довжина хвилі дорівнює

. (1.48)

Формула (1.48) дозволяє розрахувати для тороїдного резонатору будь якої форми поперечного перерізу.

Примітка. У формулах (1.47) та (1.48) не ураховані крайові ефекти, а також не ураховане магнітне поле ц центральній частині резонатору. Тому отримані по формулі (1.48) на (10-15) % менше дійсного.

Для широко використовуємого на практиці ТР з прямокутною формою поперечного перерізу (рис. 1.57.б) формула (1.48) буде мати вигляд

де .