- •1. Предмет и задачи курса.
- •1.1 Определение эконометрики. Взаимосвязь с другими науками. Эконометрика и экономическая теория. Эконометрика и статистика. Эконометрика и экономико-математические методы.
- •Чем собственно занимается эконометрист?
- •1.2 Области применения эконометрических моделей. Методологические вопросы построения эконометрических моделей: обзор используемых методов.
- •2. Спецификация переменных в уравнениях регрессии.
- •2.1. Эконометрические модели: общая характеристика, различия статистического и эконометрического подхода к моделированию.
- •2. Регрессионные модели с одним уравнением.
- •3. Системы одновременных уравнений.
- •2.2.Спецификация переменных в уравнение регрессии. Ошибки спецификации.
- •3. Парная и множественная регрессия.
- •3.1.Понятие о функциональной, статистической и корреляционных связях. Основные задачи корреляционно-регрессионного анализа.
- •3.2. Уравнение регрессии, его смысл и назначение. Выбор типа математической функции при построении уравнения регрессии.
- •3.3 Линейная модель парной регрессии. Метод наименьших квадратов (мнк). Свойство оценок мнк.
- •Статистические свойства оценок метода наименьших квадратов.
- •Дополнительное предположение о нормальном распределении ошибок
- •Свойств выборочных вариаций (дисперсий) и ковариаций.
- •Свойства остатков
- •Несмещенность мнк-оценок
- •Состоятельность оценок
- •Эффективность (оптимальность) оценок
- •Несмещённость.
- •Эффективность.
- •Противоречия между несмещённостью и минимальной дисперсией.
- •Влияние увеличения размера выборки на точность оценок.
- •Состоятельность.
- •3.4.Ковариация. Коэффициент ковариации. Показатели качества регрессии: линейный коэффициент регрессии, коэффициент детерминации.
- •3.5.Стандартная ошибка уравнения регрессии. Оценка статистической значимости показателей корреляции, параметров уравнения регрессии. Дисперсионный анализ. Критерии Фишера и Стьюдента.
- •Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии.
- •3.6. Понятие о множественной регрессии. Классическая линейная модель множественной регрессии (клммр). Определение параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов.
- •Классическая модель множественной линейной регрессии.
- •Предпосылки классической многомерной линейной регрессионной модели.
- •Выбор формы уравнения регрессии.
- •Частные уравнения регрессии
- •Множественная корреляция
- •Частная корреляция
- •3.8. Оценка качества модели множественной регрессии: f-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента. Мультиколлинеарность. Методы устранения мультиколлинеарности.
- •Глава 4. Предпосылки метода наименьших квадратов
- •4.1. Исследование остатков величин регрессии.
- •4.2. Проблема гетероскедастичности. Её экономические причины и методы выявления.
- •4.3. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.
3.3 Линейная модель парной регрессии. Метод наименьших квадратов (мнк). Свойство оценок мнк.
Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде чёткой экономической интерпретации её параметров.
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида (1) или (2). Уравнение (1) позволяет по заданным значениям фактора х иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора х. Уравнение (2) рассматривает у как зависимую переменную, состоящую из двух составляющих:
1) неслучайную составляющую , где выступает как объясняющая (независимая) переменная, а и - параметры уравнения;
2) случайного члена - (возмущение)
Если , то получатся точки .
Если , то получим точки .
Случайный член существует по ряду причин:
1) невключение объясняющих переменных (есть ещё другие факторы, влияющие на у), но измерить их невозможно (например, психологические);
2) агрегирование переменных (объединение некоторого числа микроэкономического соотношения);
3) неправильное описание структуры модели (временные ряды зависят не только от t, но и от t-1);
4) неправильная функциональная спецификация (не линейная, а какая-то другая);
5) ошибки измерения.
– сумма всех этих факторов.
Рассмотрим задачу определения параметров модели, то есть коэффициентов и - оценке параметров модели.
Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами, например можно построить поле корреляции, взять 2 точки и провести через них прямую.
оценка параметра , то есть отрезок отсекаемой прямой на оси ;
, - угловой коэффициент прямой,
- оценка параметра .
Необходимо с самого начала признать, что мы не сможем рассчитать истинные значения и . Мы можем получить только оценки, и они могут быть или хорошими или плохими. Построение линии регрессии на глаз является достаточно субъективным.
Отрезок (остаток), . Остатки должны быть min. .
Существует целый ряд критериев:
1. МНК min суммы квадратов отклонений.
2. Минимизируется сумма модулей отклонений.
3. Функция Хубера , где - «мера» с которой отклонение входит в функционал.
Рассмотрим достоинства и недостатки перечисленных функционалов.
1) сумма квадратов отклонений:
«+» лёгкость вычисления, хорошие статистические свойства, простота математических выводов делают возможным построить развитую теорию, позволяющую провести тщательную проверку различных статистических гипотез;
«-» чувствительность к выбросам;
2) сумма модулей отклонений:
«+» робастость, то есть нечувствительность к выбросам;
«-» сложность вычислительной процедуры, большим отклонениям надо придавать больший вес (лучше 2 отклонения по 1, чем одно 0 и 2), неоднозначность, то есть разным значениям параметра могут соответствовать одинаковые суммы модулей отклонений.
Функция Хубера является попыткой совместить достоинства двух первых функционалов.
Рассмотрим МНК:
Из множества линий регрессии на графике выбирается та, сумма квадратов отклонений была минимальной.
Чтобы найти min надо взять частные производные по и функции S и приравнять их нулю.
Получим систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b. (3)
(3)
Решая систему (3) любым методом: исключение, Крамера (через определители), найдем оценки параметров a и b. МНК даёт самые точные несмещённые и эффективные оценки и .
Можно воспользоваться формулами: если 1 уравнение системы (3)
- ковариация признаков;
- дисперсия признака х.
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата (у) с изменением фактора х на одну единицу. Зависимость между расходами на питание (у) и располагаемым личным доходом (х) за период 1959 по 1983 г. В США описывается уравнением регрессии: . Если х увеличится на 1 единицу, то у увеличится на 0,093ед. Если Х увеличился на 1 млрд $, то у (расходы на питание) возрастут на 93 млн $ (т. е. из 1 $ дохода 9,3 цента – на питание).
Параметр а, , «а» - не имеет экономического содержания. Интерпретировать можно только знак при параметре а. - относительное изменение параметра у, происходит медленнее, чем изменение фактора (вариации) х: ; ; ;
Возможность чёткой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в экономических исследованиях.