- •1. Предмет и задачи курса.
- •1.1 Определение эконометрики. Взаимосвязь с другими науками. Эконометрика и экономическая теория. Эконометрика и статистика. Эконометрика и экономико-математические методы.
- •Чем собственно занимается эконометрист?
- •1.2 Области применения эконометрических моделей. Методологические вопросы построения эконометрических моделей: обзор используемых методов.
- •2. Спецификация переменных в уравнениях регрессии.
- •2.1. Эконометрические модели: общая характеристика, различия статистического и эконометрического подхода к моделированию.
- •2. Регрессионные модели с одним уравнением.
- •3. Системы одновременных уравнений.
- •2.2.Спецификация переменных в уравнение регрессии. Ошибки спецификации.
- •3. Парная и множественная регрессия.
- •3.1.Понятие о функциональной, статистической и корреляционных связях. Основные задачи корреляционно-регрессионного анализа.
- •3.2. Уравнение регрессии, его смысл и назначение. Выбор типа математической функции при построении уравнения регрессии.
- •3.3 Линейная модель парной регрессии. Метод наименьших квадратов (мнк). Свойство оценок мнк.
- •Статистические свойства оценок метода наименьших квадратов.
- •Дополнительное предположение о нормальном распределении ошибок
- •Свойств выборочных вариаций (дисперсий) и ковариаций.
- •Свойства остатков
- •Несмещенность мнк-оценок
- •Состоятельность оценок
- •Эффективность (оптимальность) оценок
- •Несмещённость.
- •Эффективность.
- •Противоречия между несмещённостью и минимальной дисперсией.
- •Влияние увеличения размера выборки на точность оценок.
- •Состоятельность.
- •3.4.Ковариация. Коэффициент ковариации. Показатели качества регрессии: линейный коэффициент регрессии, коэффициент детерминации.
- •3.5.Стандартная ошибка уравнения регрессии. Оценка статистической значимости показателей корреляции, параметров уравнения регрессии. Дисперсионный анализ. Критерии Фишера и Стьюдента.
- •Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии.
- •3.6. Понятие о множественной регрессии. Классическая линейная модель множественной регрессии (клммр). Определение параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов.
- •Классическая модель множественной линейной регрессии.
- •Предпосылки классической многомерной линейной регрессионной модели.
- •Выбор формы уравнения регрессии.
- •Частные уравнения регрессии
- •Множественная корреляция
- •Частная корреляция
- •3.8. Оценка качества модели множественной регрессии: f-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента. Мультиколлинеарность. Методы устранения мультиколлинеарности.
- •Глава 4. Предпосылки метода наименьших квадратов
- •4.1. Исследование остатков величин регрессии.
- •4.2. Проблема гетероскедастичности. Её экономические причины и методы выявления.
- •4.3. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.
Дополнительное предположение о нормальном распределении ошибок
При выполнении условий Гаусса-Маркова, оценки наименьших квадратов обладают такими свойствами, как несмещенность, состоятельность и оптимальность (эффективность). Однако, для построения доверительных интервалов и проверки гипотез относительно истинных значений параметров, необходимо дополнительное предположение о распределении случайной составляющей и. В классическом регрессионном анализе допускается, что эта составляющая распределена по нормальному закону и тогда модель называют классической нормальной линейной регрессией.
Данное предположение является, пожалуй, наиболее спорным. Дело в том, что предположение о нормальности можно считать правдоподобным, если значения случайной величины порождаются в результате воздействия большого количества независимых случайных факторов, каждый из которых не обязательно имеет нормальное распределение. Примером такого воздействия является так называемое броуновское движение (хаотичное движение малых частиц в жидкости как результат совокупного воздействия на частицу — ударов, соударения — большого количества молекул жидкости).
В экономических процессах распределения случайных величин, как правило, отличаются от нормального, поскольку механизм их порождения более сложный. Тем не менее, чаще всего именно нормальное распределение используется в эконометрических исследованиях (как, впрочем, и в статистике). Это обусловлено следующими причинами. Во-первых, нормальный закон действительно часто достаточно хорошо (с приемлемой для практики точностью) аппроксимирует (приближенно описывает) распределение случайной составляющей. Во-вторых, что очень важно, на основе нормального распределения можно получить процедуры проверки гипотез и построения доверительных интервалов, удобные для расчетов и применения на практике. В любом случае, не изучив базовые результаты (процедуры), основанные на предположении нормальности, нельзя продвигаться на более высокий уровень изучения и применения более реалистичных моделей, не использующих эту предпосылку и позволяющих получать более точные результаты.
Замечание. Если случайные величины в модели распределены по нормальному закону, то из свойств некоррелированности в третьем и четвертом условиях Гаусса-Маркова следует и независимость соответствующих случайных величин.
Свойств выборочных вариаций (дисперсий) и ковариаций.
Для дальнейшего изложения нам понадобится установить ряд правил, которые можно использовать при преобразовании выражений, содержащих выборочные вариации и ковариации.
Пусть а — некоторая постоянная, а х, у, z — переменные, принимающие в i-м наблюдении значения xi,yi,zi,i=1,..., п (n — количество наблюдений). Тогда а можно рассматривать как переменную, значение которой в i-м наблюдении равно а, и
откуда следует свойство:
1. Cov(x, a) = 0.
Далее, нетрудно видеть, что имеют место равенства:
2. Cov(x, у) = Cov(y, х);
3. Cov(x. x) = Var(x).
Кроме того,
,
откуда следует свойство:
Cov(ax. у) = aCov(x, у).
5. Cov(x. у + z) =Cov(x, у) + Cov(x,z).
На основе вышеназванных свойств находим, что
6. Var(a)=0 ,
т. е. постоянная не обладает изменчивостью и
7. Var(ax)=a2Var(x).
Таким образом, при изменении единицы измерения переменной в раз, во столько же раз преобразуется и величина стандартного отклонения этой переменной (напомним, что стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии).
8. Var(x+a)=Var(x)
т. е. сдвиг начала отсчета не влияет на вариацию переменной.
Далее, имеем:
Var(x+y)=Cov(x+y,x+y)= Cov(x, х) + Cov(x, у) + Cov(y, x) + Cov(x, у).
Таким образом, доказано свойство
9.Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2Cov(x,y),
означающее, что вариация суммы двух переменных отличается от суммы вариаций этих переменных на величину, которая равна удвоенному значению ковариации между названными переменными.