- •Задача № 1.
- •Задача № 2.
- •Задача № 3.
- •Задача № 4.
- •Задача № 5.
- •Задача № 6.
- •Задача № 7.
- •Задача № 8.
- •Задача № 9.
- •Задача № 10.
- •Задача № 11.
- •Задача № 12.
- •Задача № 13.
- •Задача № 14.
- •Задача № 15.
- •Задача № 16.
- •Задача № 17.
- •Задача № 18.
- •Задача № 19.
- •Задача № 20.
- •Задача № 21.
- •Задача № 22.
- •Задача № 23.
- •Задача № 24.
- •Задача № 25.
- •Задача № 26.
- •Задача № 27.
- •Задача № 28.
- •Задача № 29.
- •Задача № 30.
- •Задача № 31.
- •Задача № 32.
- •Задача № 33.
- •Задача № 34.
- •Задача № 35.
- •Задача № 36.
- •Задача № 37.
- •Задача № 38.
- •Задача № 39.
- •Задача № 41.
- •Задача № 42.
- •Задача № 43.
- •Задача № 44.
- •Задача № 45.
- •Задача № 46.
- •Задача № 47.
- •Задача № 48.
- •Задача № 49.
- •Задача № 50.
- •Задача № 51.
Задача № 41.
Определите возможные результаты измерений квадрата модуля момента импульса для частицы, находящейся в состоянии, описываемой волновой функцией , где - полярный угол, - азимутальный угол, - некоторая нормировочная постоянная.
Решение:
Если в некотором состоянии некоторая физическая величина принимает точно определённые значения, то такие значения называются собственными значениями этой физической величины, а пси-функции, которые описывают такие собственные состояния, являются решениями операторного уравнения:
(1)
где - оператор некоторой физической величины , а в правой части уравнения - собственное значение этой физической величины. В нашем случае необходимо найти собственные значения квадрата модуля момента импульса, поэтому уравнение (1) в данном случае имеет вид:
(2)
где - оператор квадрата модуля момента импульса, который в сферических координатах имеет вид:
(3)
Подставим в операторное уравнение (2) вид оператора и пси-функцию и после преобразований получим:
(4)
Таким образом, собственное значение квадрата момента импульса в данном состоянии равняется .
Ответ:
.
Задача № 42.
Определите возможные результаты измерений проекции момента импульса на выделенное направление для частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией , где - полярный угол, - азимутальный угол, - некоторая нормировочная постоянная.
Решение:
Если некоторая физическая величина имеет точно определённые значения в некотором состоянии, то такое состояние называется собственным. Пси-функции собственных состояний являются решением операторного уравнения:
(1)
где - оператор физической величины , в правой части - собственное значение этой физической величины. В нашей задаче необходимо определить собственные значения проекции момента импульса , поэтому операторное уравнение (1) в нашем случае имеет вид:
(2)
где - оператор проекции момента импульса на ось z , который в сферических координатах имеет вид:
(3)
Найдём собственные пси-функции, соответствующие состояниям, в которых проекция момента импульса на ось имеет определённые значения. Для этого решим операторное уравнение:
(4)
Решая дифференциальное уравнение (4), получим:
(5)
где - постоянная, которую найдём из условия нормировки:
(6)
В этом случае собственные пси-функции имеют вид:
(7)
Определим постоянную в выражении для пси-функции данного состояния, используя условие нормировки:
(8)
Тогда пси-функция данного состояния имеет вид:
(9)
Разложим эту пси-функцию в ряд по собственным пси-функциям (7), учитывая, что :
(10)
Пси-функция (9) раскладывается по двум собственным пси-функциям, имеющим квантовые числа . Соответственно, проекция момента импульса на произвольную ось z в состоянии, описываемом пси-функцией (9), принимает значения:
(11)
Ответ:
.