Задача № 29.

Частица массой находится в одномерном потенциальном поле в стационарном состоянии, описываемом волновой функцией , где и - постоянные ( ). Найдите энергию частицы и вид функции , если .

Решение:

Стационарные состояния частицы описываются пси-функциями, которые являются решениями уравнения Шредингера:

(1)

Найдём вторую производную от данной волновой функции по x:

(2)

Подставим в уравнение Шредингера (1):

(3)

Разделим обе части уравнения на и получим:

(4)

Учитывая, что , получим:

(5)

Подставим полученное значение энергии в уравнение (4) и определим вид потенциальной энергии:

(6)

Ответ:

Задача № 30.

Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите отношение вероятностей нахождения частицы в средней трети ямы для первого и второго возбуждённых состояний.

Решение:

Пусть сторона ямы равна .

Частица находится в потенциальной яме, имеющей вид (рисунок 1):

Рисунок 14

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

или в виде:

(2)

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Воспользуемся естественными условиями, накладываемыми на пси-функцию. В области, где потенциальная энергия равна бесконечности, частица находиться не может, поэтому плотность вероятности нахождения частицы, а значит и пси-функция в этих областях ( ) равны нулю. Имея в виду этот факт и условие непрерывности пси-функций, получим:

Тогда пси-функция примет вид:

(4)

Учитывая, что , получим:

(5)

Мы получили энергетический спектр частицы, находящейся в потенциальной яме заданного вида. Определим коэффициент A в выражении (4), используя условие нормировки:

(6)

Пси-функции собственных состояний частицы в потенциальной яме:

(7)

В первом возбуждённом состоянии (так как соответствует основному состоянию). Тогда пси-функция первого возбуждённого состояния равна:

(8)

Плотность вероятности нахождения частицы в этом состоянии определяет квадрат модуля пси-функции:

(9)

Аналогично для второго возбуждённого состояния пси-функция и плотность вероятности равны:

(10)

(11)

Вероятности нахождения частицы в средней трети потенциальной ямы для первого и второго возбуждённых состояний найдём, интегрируя (9) и (11) по пределам :

Тогда

Ответ:

.

Задача № 31.

Электрон с энергией падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой . Оцените, при какой ширине барьера коэффициент прохождения электрона через барьер будет равен ?

Решение:

Вид прямоугольного потенциального барьера представлен на рисунке 1:

Рисунок 15

Коэффициент прохождения частицы через потенциальный барьер определяется следующим выражением:

(1)

где пределы интегрирования и являются решениями уравнения:

(2)

В случае прямоугольного потенциального порога:

(3)

где - ширина, а - высота потенциального порога. Прологарифмируем обе части уравнения (3):

(4)

Отсюда найдём ширину порога:

(5)

Подставляя числовые значения, получим:

Ответ:

.