6. Закон полного тока.

З акон полного тока, или теорема о циркуляции вектора , которая будет рассмотрена ниже, позволяет находить напряженность магнитного поля при наличии симметрии токов без применения закона Био – Савара - Лапласа. Это дает возможность существенно упростить вычисления в ряде случаев.

Основное отличие магнитного поля от электростатического состоит в том, что магнитное поле непотенциально .

Докажем это.

Рассмотрим магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током.

Силовые линии (линии напряженности) этого поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны к проводнику, а центры лежат на оси проводника.

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольной силовой линии L равна .

При этом L - окружность радиуса r,

Модуль напряженности по закону Био –Савара-Лапласа равен .

Вектор направлен по касательной к окружности, поэтому

Тогда (1)

- циркуляция вектора вдоль силовой линии не равна нулю, следовательно, магнитное поле прямолинейного тока непотенциально.

Из выражения (1) следует, что циркуляция вектора магнитного поля прямолинейного тока одинакова вдоль любой силовой линии и равна силе тока.

Формула ( 1) справедлива для замкнутого контура L произвольной формы, охватывающего бесконечно длинный прямолинейный проводник с током I.

Д ействительно, рассмотрим контур (силовую линию) произвольной формы (рис.6).

Точка А этого контура находится на расстоянии r от оси проводника с током.

Из оси проводника проведем окружность радиуса r через точку А.

Тогда вектор направлен по касательной к этой окружности, следовательно, он перпендикулярен к радиус вектору .

Элемент силовой линии в точке А направлен по касательной к контуру L.

Тогда ,

где – длина проекции вектора на направление вектора .

Но малый отрезок касательной к окружности радиуса r можно заменить дугой этой окружности: ,

где – центральный угол, под которым виден элемент контура L из центра окружности. Тогда: ,

а циркуляция вектора равна: (2)

- результат тот же, что и для случая, когда L - окружность.

Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током I вдоль замкнутого контура произвольной формы, охватывающего проводник, не зависит от формы контура и численно равна силе тока I.

Р ассмотрим случай, когда контур не охватывает проводник с током (рис.7).

В этом случае циркуляция вектора по контуру L равна сумме циркуляций вектора по участку контура 1a2 и участку контура 2b1, т.е.

(3)

- циркуляция вектора напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током вдоль замкнутого контура, не охватывающего этот проводник, равна нулю.

Можно показать, что формулы (2) и (3) являются универсальными, т.е. справедливы для проводника любой формы и размеров.

На практике магнитное поле создается, как правило, несколькими проводниками, по которым текут токи , , … , .

Каждый проводник с током создает магнитное поле напряженностью ( ).

Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна: .

Циркуляция вектора напряженности вдоль произвольного замкнутого контура L равна:

.

Но, согласно формулам (2) и (3),

• ,если контур L охватывает ток ;

• 0 , если контур L не охватывает тока .

Таким образом, . (4)

В выражении (4) индекс i заменен индексом k для того, чтобы подчеркнуть, что в эту сумму входят только токи, охватываемые контуром L.

Формула (4) выражает закон полного тока для токов проводимости: циркуляция вектора напряженности магнитного поля постоянного электрического тока вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых эти контуром.

• Если контур несколько раз охватывает ток, то величина тока учитывается столько раз, сколько раз контур обвивается вокруг тока с учетом направления обхода и знака тока.

• Если токи текут непрерывно по поверхности S, то сумму токов можно заменить интегралом: ,где - вектор плотности тока.

Тогда закон полного тока (4) принимает вид: ,

или . ( 5)

Здесь ( мы рассматриваем поле в вакууме), L – контур, на который опирается поверхность S.

Согласно теореме Стокса ,

тогда из (5) получаем: , (6)

- ротор вектора магнитной индукции отличен от нуля – магнитное поле непотенциально.

Поле, ротор которого отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным.

Выражение (6) представляет собой дифференциальную форму записи закона полного тока.

С помощью закона полного тока (6) найдем напряженность магнитного поля внутри соленоида.

• Будем считать соленоид бесконечным.

• Е сли витки соленоида расположены вплотную или очень близко друг к другу, то соленоид можно приближенно рассматривать как систему большого числа последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, центры которых лежат на оси соленоида, а плоскости ортогональны ей. Легко видеть, что линии магнитной индукции соленоида параллельны его оси (рис. 8).

• Все поле сосредоточено внутри соленоида, вне соленоида поля нет и .

Для нахождения H выделим участок соленоида длины , на котором расположено витков, ( n- число витков на участке соленоида единичной длины), и проведем контур 1234 . Согласно закону полного тока (4) имеем:

.

На участках 1,2 и 3,4 контур перпендикулярен к вектору , поэтому и

.

Участок 4,1 находится вне соленоида, следовательно, и ,

следовательно, .

Тогда , и .

Сократив на , окончательно получаем: .

Из этого выражения видно, что не зависит ни от расстояния до оси соленоида, ни от размеров самого соленоида.

При фиксированном значении силы тока , поле соленоида однородно.