- •Ен. Ф. 01 математика Методические указания и варианты заданий к контрольной работе № 1
- •280402 Природоохранное обустройство территорий
- •Введение
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Метод Гаусса
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Расчетные задания Задание № 1
- •Задание № 2
- •Задание № 3
- •Задание № 4
- •Задание № 5
- •Библиографический список
Метод Гаусса
Решить систему уравнений:
Составим расширенную матрицу системы:
.
Разрешающим элементом а11 удобно иметь единицу, поэтому переставим второе уравнение на место первого.
Получим нули в первом столбце, умножив первое уравнение последовательно на (– 2) и (– 3) и складывая со вторым и третьим.
~ ~ .
С помощью второго элемента второй строки сделаем нуль во втором столбце третьей строки, для чего умножим вторую строку на (– 2) и сложим с третьей.
~ ~ .
Таким образом, свели матрицу к треугольному виду. Запишем полученную систему уравнений:
Из последнего уравнения сразу находим значения z = 3, подставляя которое во второе уравнение находим y = 11 – 3z = 11 – 9 = 2. Затем из первого уравнения найдем x = 6 – y – z = 6 – 2 – 3 = 1. Поэтому x = 1, y = 2, z = 3.
Задача 2
Даны вершины треугольника ABC: A(– 2, 5), B(10, – 4), C(8, 10). Требуется найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и AC в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол A в радианах; 4) уравнение медианы AD; 5) уравнение высоты CE и ее длину; 6) уравнение окружности, для которой высота CE есть диаметр и точки пересечения этой окружности со стороной AC.
Решение.
1. Расстояние d между точками A(х1; y1) и B(х2; y2) вычисляем по формуле:
d = (1)
Применяя (1), находим длину стороны AB:
dAB = = = 15.
2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(х1; y1) и B(х2; y2), имеет вид:
. (2)
Подставив в (2) соответствующие координаты точек A и B находим уравнение прямой (AB):
= ; = ;
= ; 4y – 20 = – 3x – 6; 3x + 4y – 14 = 0 (AB).
Чтобы найти угловой коэффициент прямой AB (kAB), решим полученное уравнение прямой относительно y:
4y = 3x + 14, откуда
Подставляя в (2) координаты точек A и C, находим уравнения прямой (AC):
откуда
3. Если даны две прямые, угловые коэффициенты которых соответственно равны k1 и k2, то угол φ между этими прямыми определяется по формуле:
. (3)
Искомый угол A образован прямыми AB и AC, угловые коэффициенты которых найдены ранее в пункте 2. Для определения угла A положим и . Применяя (3), получим:
откуда .
Используя таблицу перевода градусной меры в радианную, получим A = 1,107 рад.
4. Если AD есть медиана, то точка D является серединой стороны BC. Для вычисления координат точки D применяем формулы деления отрезка на две равные части:
(4)
Подставив в (4) координаты точек B и C, находим координаты точки D:
D(9; 3).
Подставив в (2) координаты точек A(– 2; 5) и D(9; 3), находим искомое уравнение медианы AD:
2x + 11y – 51 = 0 (AD).
5. Высота CE перпендикулярна стороне AB. Известно, что если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, . Так как то
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, имеет вид:
(5)
Подставив в (5) координаты точки C и найденный угловой коэффициент , получим искомое уравнение высоты CE:
Чтобы найти длину CE, определим сперва координаты точки E – точки пересечения высоты CE и прямой AB. Для этого решаем совместно систему уравнений (AB) и (CE):
Решение этой системы дает x = 2 и y = 2. Следовательно, E(2; 2). Длину высоты CE определяем как расстояние между двумя точками по формуле (1).
dCE = = 10.
6. Уравнение окружности с центром в точке K(a; b) и радиусом R имеет вид:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2. (6)
По условию, высота CE служит диаметром искомой окружности. Следовательно, центр окружности K является серединой отрезка CE. Используя (4), находим координаты точки K.
K(5; 6).
Так как dCE = 10, то радиус окружности R = 5. Следовательно, (x – 5)2 + (y – 6)2 = 25 – уравнение искомой окружности. Чтобы найти точки пересечения этой окружности с прямой AC, решаем совместную систему уравнений:
Решив эту систему, получим две точки пересечения C(8; 10) и М(0; 6). Треугольник ABC, медиана AD, высота CE, окружность с центром в точке K и точки ее пересечения со стороной AC построены в системе координат xOy на рис. 1.
Рисунок 1