3.7. Решение задач оптимизации

Команда СервисПоиск решения… предоставляет пользователю следующие возможности:

• поиск безусловных экстремумов функции одного или нескольких аргументов;

• поиск экстремумов функции одного или нескольких аргументов при наличии ограничений на найденное решение;

• поиск аргументов, при которых функция примет нужное значение;

• выбор метода решения поставленной задачи;

• ввод ограничения на точность и время выполнения задачи.

Эти возможности реализуются с помощью параметров, собранных в основном окне Поиск решения и дополнительном Параметры поиска решения. Дополнительное окно вызывается кнопкой <Параметры> из основного. Кнопка <Справка> вызывает окно с разъяснением смысла каждого параметра и возможностей, которые предоставляются при его заказе.

Методы оптимизации можно так же применять для решения систем нелинейных уравнений. Для этого из уравнений системы

f₁(x₁,x₂…,x_n)=0; f₂(x₁,x₂…,x_n)=0; …; f_n(x₁,x₂…,x_n)=0;

составляют вспомогательную целевую функцию

S=f₁²+ f₂²+…+ f_n²

S – неотрицательная функция, её минимальное значение равно нулю и достигается только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю. А это и есть решения исходной задачи.

Рассмотрим в качестве примера систему двух нелинейных уравнений

x²+y²=3; 2x+3y=1

Введём исходные данные задачи по представленному ниже плану.

Для удобства дальнейшей работы можно провести форматирование созданной таблицы, аналогичное п. 3.5.

Вызовем команду СервисПоиск решения… В окне Поиск решения установим следующие параметры:

• "Установить целевую ячейку:" А9

• "Равной:" минимальному значению

• "Изменяя ячейки:" А4:В4

• Нажмём кнопку <Параметры> и в дополнительном окне Параметры поиска решения проверим, что флажок Линейная модель не установлен. Закроем дополнительное окно кнопкой <ОК>

• Запустим команду кнопкой <Выполнить> основного окна.

Когда команда закончит работу, на экране автоматически появляется окно Результаты поиска решения. Пояснения к параметрам, представленным в нём, вызываются кнопкой <Справка>. Закажем, к примеру, параметры "Сохранить найденное решение" и "Тип отчёта: результаты". В этом случае начальные значения переменных в ячейках А4:В4 заменятся на найденные и в таблицу будет вставлен новый лист "Отчёт по результатам 1". Просмотрите отчёт. Проверьте, какое значение приняла вспомогательная целевая функция в А9 при найденных решениях. Если она существенно отличается от нуля, то решение найдено неверно.

Ячейки	Информация	Значение
А1	Заголовок расчёта	Решение системы нелинейных уравнений
А2	Заголовок	Переменные
А3:В3	Название переменных	А3: Х, В3: Y
А4:В4	Начальные значения переменных	А3: 1, В3: -1
А5	Заголовок	Функции системы
А6:В6	Названия функций системы	А6: f1, B6: f2
А7:В7	Формулы для расчёта функций	=A4^2+B4^2-3 =2*A4+3*B4-1
А8	Заголовок	Вспомогательная целевая функция
А9	Формула целевой функции	=A7^2+B7^2

Успешность поиска решения во многом зависит от выбора начального приближения переменных. В случае двух уравнений с двумя переменными можно не делать аналитического исследования функций системы, а составить таблицу вспомогательной целевой функции (см. п. 3.2) и выбрать по ней те комбинации аргументов, при которых функция принимает наименьшие значения.

Задание.

Составьте таблицу значений целевой функции S=(x²+y²-3)²+(2x+3y-1)² в диапазоне аргументов -3<x<3, -3<y<3. Выберите 4 – 5 точек с наименьшими значениями функции, проведите поиск решения из каждой из них. В результате должно быть получено только два разных решения: х₁=-1,268; у₁=1,179 и х₂=1, 576; у₂=-0,717. Графически уравнения системы представляются окружностью и прямой линией. Система такого типа не может иметь больше двух точек пересечения.