Лабораторная работа № 4 Исследование устойчивости сар

Цель работы. Рассчитать границу устойчивости САР по критерию Гурвица и сравнить полученные данные с расчетами по критериям Михайлова и Найквиста.

Теоретические основы

1. Структурная схема и передаточная функция САР. Для анализа устойчивости выберем систему регулирования частоты вращения ротора ГТД, схема которой приведена на рис.1.

Рис.1

Схема астатического регулятора частоты вращения ротора ГТД

Регулятор, приведенный на этой схеме работает следующим образом. При увеличении частоты вращения ротора по сравнению с заданной, грузики центробежного измерителя (4) частоты вращения ротора расходятся в стороны, перемещая толкатель и шток золотника (1) вправо. Золотник, перемещаясь сообщает правую полость гидроцилиндра (2) со сливом, а в левую поступает управляющая жидкость под давлением. Поршень гидроцилиндра под действием перепада давления перемещается вправо, уменьшая угол наклона наклонной шайбы плунжерного насоса (3). Производительность плунжерного насоса снижается, расход топлива в камеру сгорания снижается и обороты двигателя восстанавливаются. Регулятор является астатическим, поскольку в схему включен гидроцилиндр.

Для исследования системы на устойчивость нам потребуется получить ее передаточную функцию, которую можно построить, зная передаточные функции объекта и регулятора. Так как объект и регулятор включены по схеме с отрицательной обратной связью (рис. 2), то передаточная функция САР может быть определена по формуле

где W_s – передаточная функция САР, W_о – передаточная функция объекта, W_р – передаточная функция регулятора.

Рис.2

В качестве передаточной функции объекта регулирования выберем передаточную функцию апериодического звена I порядка

Передаточную функцию регулятора определим исходя из следующего. Будем считать, что центробежный измеритель скорости вращения и золотник представляют собой усилительные безинерционные звенья. Примем также, что изменение угла наклона шайбы плунжерного насоса производится безинерционно. Гидроцилиндр будем рассматривать, как интегрирующее инерционное звено, а все коэффициенты усиления в цепи регулятора отнесем к гидроцилиндру. Тогда передаточная функция регулятора может быть записана как

.

Подставляя выражения для передаточных функций объекта и регулятора в формулу для передаточной функции системы с обратной связью, получим

2. Критерии устойчивости Гурвица, Михайлова и Найквиста.

Критерий Гурвица. Для проверки системы на устойчивость по критерию Гурвица необходимо записать характеристическое уравнение системы. Характеристическим уравнением является знаменатель передаточной функции, следовательно

D(p)=a₀p³+a₁p²+a₂p+a₃ ,

где a₀=T_oT_p, a₁=T_o + T_p, a₂=1, a₃=k_pk_o .

В соответствии с критерием Гурвица, САР будет устойчива, если при a₀>0, все определители Гурвица положительны. Определители Гурвица строятся на основе матрицы Гурвица

Из первого определителя получаем ₁=а₁>0;

из второго >0; после подстановки значений а_i получаем

₂=(T_o + T_p) – T_oT_pk_ok_p>0,

откуда следует, что

Критерий Михайлова. Для исследования устойчивости системы по Михайлову из характеристического уравнения, заменой p=i, строится полином Михайлова

D(i)=a₀(i)³+a₁(i)²+a₂(i)+a₃;

После подстановки значений а_i получим вещественную

X()= –^(T_o + T_p)+k_pk_o

и мнимую

Y()= (–T_oT_p ^)

части полинома Михайлова.

Система будет устойчива, если вектор с проекциями X(),Y(), при изменении частоты, , от 0 до  будет поворачиваться на угол n/2, где n – порядок системы.

На рис.3 приведены годографы Михайлова для устойчивой, неустойчивой и находящейся на границе устойчивости систем.

Рис.3

1 – устойчивая система; 2 – система, находящаяся на границе устойчивости;

3 – неустойчивая система.

Критерий Найквиста. Для исследования устойчивости системы по Найквисту строят частотные характеристики условно-разомкнутой системы в логарифмических координатах. Система будет устойчивой в том случае, если точка пересечения фазочастотной характеристикой линии – располагается правее точки пересечения логарифмической амплитудно-частотной характеристикой линии 0. На рис.4 – 6 приведены АЧХ и ФЧХ устойчивой, находящейся на границе устойчивости и неустойчивой систем.

Рис.4.

Частотные характеристики устойчивой системы

Рис.5.

Частотные характеристики системы, находящейся на границе устойчивости

Рис.6.

Частотные характеристики неустойчивой системы

2. Задание на лабораторную работу.

1). Провести анализ устойчивости системы, приведенной на рис.1 по критерию Гурвица. Построить область устойчивости в координатах k_p, T_p, для значений 0,05T_p1,5; T_о = 1, k_о = 1,1.

2). Провести анализ устойчивости по критерию Михайлова с помощью диаграмм, приведенных на листе №2 файла Stab.xls.

3). Провести анализ устойчивости по критерию Найквиста с помощью диаграмм, приведенных на листе №1 файла Stab.xls.

4). Сделать выводы по работе.

Литература

1. Основы автоматического управления и регулирования./ Под ред. В.М.Пономарева и А.П.Литвинова Учебное пособие для неэлектротехнических специальностей вузов. М., Высшая школа, 1974, 440с.

2. М.А.Айзерман. Теория автоматического регулирования. М., Наука, 1966, 450с.

3. В.А.Бесекерский, Е.П.Попов. Теория систем автоматического регулирования. М., Наука, 1972, 767с.

4. А.А.Воронов. Основы теории автоматического управления. Ч.I. М., Энергия, 1965, 394с.

5. Основы автоматического управления./Под ред. В.С.Пугачева. М., Наука, 1974, 719с.

6. В.И.Домрачев. Основы теории автоматического управления. Учебное пособие, Казань, 1975, 114с.

7. Лабораторный практикум по "Автоматика, регулирование и агрегаты ВРД". Под ред. А.В.Талантова. Казань, 1985, 56с.