Устойчивость хаотических решений.

Фазовые траектории, принадлежащие регулярным предельным множествам – аттракторам - устойчивы по Ляпунову, а принадлежащие репеллерам и седлам – неустойчивы. Для хаотических траекторий это не так. Хаотическая траектория обязательно неустойчива хотя бы по одному направлению. Значит, в спектре характеристических показателей Ляпунова обязательно присутствуют положительные величины. Неустойчивость фазовых траекторий и притягивающий характер предельного множества не противоречат друг другу, так как фазовые траектории, стартующие из близких точек бассейна притяжения, стремятся к аттрактору, но на аттракторе разбегаются. Траектории на хаотическом аттракторе неустойчивы по Ляпунову, но устойчивы по Пуассону. Такое поведение возможно лишь на множествах, обладающих сложной геометрической структурой.

Представление о том, как формируется структура хаотического аттрактора, дает рассмотрение предельного множества, возникающего в отображении подковы (отображении Смейла) (рис. 10.5).

Рис. 10.5. Возникновение странного аттрактора

в отображении подковы (Смейла)

Единичный квадрат сжимается по одному направлению и растягивается по другому, причем площадь при этом уменьшается. Затем получившаяся полоска изгибается в форме подковы и вкладывается обратно в исходный квадрат. Эта процедура повторяется много раз. В пределе образуется множество с нулевой площадью, которое имеет в поперечном сечении канторову структуру (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 10.1)

Отметим, что сложность геометрической структуры аттрактора может и не сопровождаться неустойчивостью траекторий на нем.

Перемешивание.

Непредсказуемость поведения системы в области динамического хаоса связана с неустойчивостью системы по отношению к малым отклонениям начального состояния. Это означает, что мы должны анализировать эволюцию во времени не начальной точки, а начального объема вокруг этой точки.

Рассмотрим малую сферу радиуса e > 0, окружающую начальное состояние x₀. Любая точка внутри сферы характеризует малое отклонение от начального состояния. Применим оператор эволюции и посмотрим за трансформацией этого малого объема во времени. Если система устойчива, любое малое отклонение со временем будет затухать, шарик радиуса e будет уменьшаться со временем, и в пределе при t® его радиус уменьшится до нуля. Такая трансформация объема фазового пространства изображена на рис. 10.4 в случаях устойчивых режимов – регулярных аттракторов 1, 2, 3. На рис. 10.6 представлено последовательное сжатие первоначальной области неопределенности фазового объема радиуса в случае, когда устойчивое предельное множество представляет собой предельный цикл

Д ля неустойчивых режимов дело происходит сложнее. Неустойчивость режима ведет к росту возмущений. Но если система диссипативна, независимо от того, устойчива или неустойчива система, происходит уменьшение элемента фазового объема во времени, что связано с потерями энергии. Это значит, что элемент фазового пространства по одним направлениям растягивается (что соответствует положительным показателям Ляпунова), а по другим – сжимается. Причем степень сжатия превалирует над степенью расширения. Пример такой трансформации для системы, описывающей радиотехнического устройство (модифицированный генератор с инерционной нелинейностью) представили В.С. Анищенко с соавторами в книге «Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем». Модель генератора описывается системой уравнений:

(10.12)

При определенных значениях параметров система демонстрирует квазистохастическое поведение (рис. 10.7).

Рассмотрим, как будет себя вести малый фазовый объем радиуса e, окружающий начальную точку, для такой квазистохастической системы. Результаты компьютерного моделирования представлены на рис. 10.8.

Видно, что со временем имеет место растяжение в некоторых направлениях и сжатие – в других. Спустя некоторое время точки траекторий, начинающихся в элементе 1, можно обнаружить в любой части фазового пространства, занятого аттрактором.

Процесс перемешивания имеет простую аналогию. Поместим в жидкость, находящуюся в сосуде, капельку чернил, и будем жидкость перемешивать. В силу «неустойчивости» капли молекулы чернил под влиянием потоков жидкости, скоро «разбегутся» по всему объему. Их траектории будут представлять собой хаотические траектории. Если же в сосуд поместить твердую частицу, молекулы вещества будут перемещаться по влиянием потока жидкости тоже по сложной траектории, но не удаляясь друг от друга (траектория устойчива).