Постановка задачи теории упругости, прямая и обратная задача.
В зависимости от вида граничных условий различают 3 типа граничных задач теории упругости:
Когда даны: массовые и поверхностные силы; необходимо найти: компоненты тензора напряжения внутри, компоненты вектора перемещения внутри и на поверхности; все должно соответствовать: дифференциальному уравнению равновесия, закону Гука, краевым условиям
Когда даны: массовые силы и перемещения на поверхности тела; необходимо найти: перемещение точки внутри тела, компоненты тензора напряжений; все должно соответствовать: закону Гука и дифференциальному уравнению.
Когда даны: поверхностные силы на одной части поверхности, перемещения на другой части поверхности, массовые силы; необходимо найти: тензор напряжения и перемещения; все должно соответствовать: дифференциальному уравнению, закону Гука, при выполнении смешанных граничных условий.
Прямая задача состоит в решении одной из трех основных задач. Определяются напряжения и перемещения точек тела как функции координат, определяющих напряжения деформированного состояния тела в зависимости от внешнего воздействия.
Обратная задача состоит в том, чтобы задавшись либо перемещением либо напряжением определить из основных перемещений или граничных условий все остальные функции.
Способы и методы решения задачи теории упругости (уравнения).
Решение задачи теории упругости в перемещениях: В дифференциальные уравнения равновесия III подставляется выражение для напряжений VIII и заменяя компоненты деформации по формулам Коши определяется деференциальное уравнение движения твердого тела.
Решение задачи теории упругости в напряжениях: Подставляя компоненты деформации в виде закона Гука VII в условие неразрывности VI с помощью дифференциальных уравнений равновесия III, получим:
При отсутствии объемных сил, правые части уравнений обращаются в нуль. Используя данное свойство с дифференциальными уравнениями равновесия III и краевыми условиями для напряжений IV, можно определить напряжения.
Условная диаграмма растяжения и сжатия, теорема о разгрузке. Эффект Баушингера. Интенсивность напряжений и деформаций.
Построение диаграммы
выполняется в координатах
;
ОА – линейный участок, действует закон Гука
ВС – площадка текучести, деформация при постоянном напряжении
СG – участок упрочнения
Теорема о разгрузке
Если образец растянуть
до
(точка К), а затем разгрузить, то диаграмма
разгрузки КМ не совпадает с диаграммой
первичного нагружения. Это будет прямая
параллельная отрезку ОА
Теорема
Уменьшение напряжения
при разгрузке
пропорционально удлинению деформации
.
Коэффициент пропорциональности такой
же как и в начальной стадии нагружения.
Полное напряжение для
деформации
есть сама упругих и пластичных деформаций
.
И
.
– сохраняется после снятия нагрузок и называются остаточной деформацией
Остаточную пластичную деформацию в момент разрыва называют остаточным удлинением δ
чем она больше тем
пластичнее материал
Дополнительно выполняются оценка остаточного относительного сужения ψ
При вторичном нагружении материала диаграмма нагружения совпадает с диаграммой разгружения
При пластическом деформированным пределом упругости материала увеличивается, происходит упрочнение материала(только при сохранении знака деформации)
Условные диаграммы сжатия
Для большинства материалов они совпадают с диаграммами растяжения на начальном участке. Пределы пропорциональности прочности несколько больше, чем при растяжении.
Данные отличия более существенны для хрупких материалов
Эффект Браушингера. Интенсивность напряжений и деформаций.
Предел упругости при сжатии пластически деформированного растяжением материала меньше чем недеформированного.
Первая пластическая деформация материала снижает его сопротивления пластическому деформированию, при повторном нагружении противоположные знаки (Эффект Браушингера)
Интенсивность напржений и деформаций
Позволяет управлять закономерностью между сложным напряженым состоянием и простым растяжением
Эффект Баушингера – снижение пределов пропорциональности упругости и текучести материалов в результате изменения знака нагружения, если первоначальная нагрузка вызвала наличие пластической деформации.
Металл подвергнутый слабой пластической деформации нагрузкой одного знака, обнаруживает при перемене знака нагружения пониженное сопротивление пластическим деформациям.
Эффект связывают с
наличием остаточных напряжений в
наиболее деформированных зернах металла,
которые складываясь с рабочими
напряжениями при изменении знака
нагрузки, вызывают понижение указанных
характеристик (
)