7. Наблюдаемость динамических систем.

Система наблюдаема, если все ее переменные состояния y_i* можно непосредственно или косвенно (посредством других переменных z_i) определить посредством некоторых измерений.

Получим критерий наблюдаемости для линейных динамических систем. Исходную систему уравнений dy/dt = By + mΔu (1.8) рассмотрим совместно с математической моделью измерительного устройства z = Cy (2.10), где матрица С определяет линейную связь между вектором состояния системы y и вектором измеряемых переменных .

В частном случае, когда матрица C единична, переменные состояния непосредственно измеряются и система наблюдаема. В общем случае для определения наблюдаемости линейной системы (1.8) необходимо для анализа соотношения (2.10) перейти к главным координатам по формуле y=Vy*, где V - матрица собственных векторов матрицы B. После проведения данного преобразования модель измерительного устройства (2.17) примет вид

z = C_*y_* (2.11), где С_* = CV. Тогда критерий наблюдаемости для системы (1.8) формулируется следующим образом: система (1.8) наблюдаема, если ни один из столбцов матрицы С_* = CV не является нулевым. Так, например, если первый столбец матрицы С_* = CV нулевой, то переменная y_1* не наблюдаема (от нее не зависит вектор z измеряемых переменных). Данный критерий применяется тогда, когда система (1.8) приводится к диагональной форме dy_*/dt = By_* + m_*Δu.

Более универсальным методом определения наблюдаемости линейных систем является критерий, не требующий перехода к главным координатам (критерий наблюдаемости Калмана). В соответствии с этим критерием для определения наблюдаемости системы (1.8) необходимо составить матрицу L = (C^T, B^TC^T,…,(B^n-1)^TC^T)) (2.12). Система (1.8) будет наблюдаема, если матрица L будет иметь ранг n.

8. Устойчивость решений динамических систем. Знакопостоянные и знакоопределенные функции.

Решение y=0 для ДС dy/dt = F(y) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого

ε > 0, как бы оно мало не было, найдется другое число δ(ε) > 0 такое, что выполнение неравенства ||y(t_o)||≤δ влечет за собой как следствие выполнение неравенства ||y(t)||<ε при любом t ≥ t_o. В этом определении обозначения ||y(t_o)|| и ||y(t)|| означают евклидову норму вектора отклонений y в начальный (t_o) и текущий (t) моменты времени: . Так как уравнения и в пространстве переменных y₁,…,y_n задают гиперсферы, то геометрическое истолкование устойчивости по Ляпунову следующее: каково бы не было число ε > 0, а значит какова бы не была заданная сферическая область в пространстве переменных y₁,…,y_n, найдется такое число δ(ε)>0, что если начальное положение системы находится внутри или на поверхности сферы ||y(t_o)||≤δ, то фазовая траектория системы будет находиться внутри сферы ||y(t)||<ε во все время движения системы t > t_o.

Решение y=0 для ДС dy/dt = F(y) называется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво по Ляпунову; 2) выполняется предельное равенство .

Функция W(y) называется знакоопределенной положительной (положительно определенной), если она обращается в 0 только в начале координат. Пример: W(y) = ||y||² = y₁²+y₂²+…+y_n². .Функция W(y) называется знакоопределенной отрицательной (отрицательно определенной), если функция –W(y) является знакоопределенной положительной.

Функция W(y,t), зависящая от времени t, называется знакоопределенной положительной, если найдется другая знакоопределенная положительная функция W*(y) такая, что соблюдается неравенство W(y,t) ≥ W*(y) при всех t Є [t_o,T].

Функция W(y) называется знакопостоянной положительной (отрицательной), если она неотрицательна (неположительна).

Говорят, что знакоопределенная положительная функция W(y,t) допускает бесконечно малый высший предел, если существует знакоопределенная положительная функция W_*(y) такая, что выполняется неравенство W_*(y) ≥ W(y,t) при всех t Є [t_o,T].

Знакоопределенные функции W(y) обладают тем свойством, что равенство W(y) = C (C>0) задает в пространстве переменных y₁,…,y_n замкнутую гиперповерхность, если постоянная достаточно мала.

Если функция W(y,t) знакоопределенная положительная и имеет бесконечно малый высший предел, то поверхность W(y,t) = C, зависящая от времени, располагается в слое

W*(y) = C, W_*(y) = C, так как W_*(y) ≥ W(y,t) ≥ W*(y) ≥ 0.