4. Задача стабилизации. Линейные динамические системы.

Рассмотрим движение динамической системы. Пусть для этой системы найдено оптимальное управление u^o(t) и получена соответствующая оптимальная траектория x^o(t). При реализации оптимальной траектории в технических задачах неизбежно наталкиваются на существенные трудности, заключающиеся в невозможности, во-первых, точно установить реальную систему (или объект управления) в начальное состояние x_o, во-вторых, точно реализовать само оптимальное управление u^o(t), в третьих, точно предсказать заранее внешние условия функционирования системы (приближенность исходной математической модели). Все это приводит к необходимости решать задачу о коррекции закона оптимального управления в процессе функционирования любой технической системы (или объекта). Таким образом, задачу оптимального управления в реальных условиях можно разделить на две части: 1) построение номинального оптимального управления u^o(t) исходной динамической системой в идеальных условиях; 2) построение корректирующих управляющих воздействий Δu(t) с целью реализации заданного номинального оптимального управления u^o(t) и оптимальной траектории x^o(t) в процессе функционирования системы. Первую часть задачи оптимального управления принято называть задачей построения оптимального программного управления, причем она решается в рамках априорной информации, известной заранее о рассматриваемой системе. Вторую часть задачи называют задачей стабилизации заданной номинальной программы управления и решаться она должна в процессе функционирования системы по информации, поступающей от измерительных устройств системы управления. Задача стабилизации номинальной программы управления тоже может быть поставлена как задача поиска оптимального управления Δu(t) по соответствующему критерию.

Чаще всего при решении задачи стабилизации движения системы или объекта управления используется линейная динамическая система в отклонениях, получающаяся из отбрасыванием нелинейных слагаемых. Тогда , (1.8) где матрицы B и m в общем случае являются функциями времени, так как зависят от номинальной программы управления x^o(t), u^o(t).

Рассмотрим для простоты случай, когда управление u является скалярной величиной. При рассмотрении задачи управления линейной динамической системой обычно в качестве критерия оптимальности применяется функционал с квадратичной подынтегральной функцией (1.9). Здесь , - симметричная квадратичная форма вектора y: Ψ(y) = y*ay, (1.10) где y* - транспонированный вектор y (вектор-строка), a - квадратная симметричная матрица. Предполагается, что функция Ψ(y) есть положительно определенная квадратичная форма Ψ(y)≥0, причем Ψ(0)=0 только при y = 0. Проводя перемножения в соотношении (1.10) в скалярном виде можно записать ,(1.11) где a_kl - компоненты матрицы a. Для того, чтобы квадратичная форма (1.11) была положительно определена необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры вещественной симметричной матрицы a были положительны (условие Сильвестра).

В качестве допустимых функций управления обычно принимаются кусочно-непрерывные функции Δu(t), принадлежащие некоторой области Δu(t)ЄU. Если управление определяется как функция вектора фазовых переменных Δu(y), то говорят, что решается задача синтеза управления. После подстановки закона Δu(y) в систему (1.8) получается автономная линейная система, которая в теории управления называется замкнутой системой.

Таким образом, задача оптимальной стабилизации движения линейной динамической системой формулируется так: среди допустимых управлений Δu системой (1.8) найти такое управление, которая доставляет минимум функционалу (1.9) и переводит систему из начального положения y(t_o) в начало координат y(T) = 0, где T≤∞ - время перехода.