2. Непараметрические критерии различий двух выборок.

Непараметрические критерии - это группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами:

Q-критерий Розенбаума- Простой непараметрический критерий. Мощность критерия не очень велика.. Данные для применения Q-критерия Розенбаума должны быть представлены хотя бы в порядковой шкале. Признак должен измеряться в значительном диапазоне значений (чем более значительном – тем лучше). Для применения Q-критерия Розенбаума нужно произвести следующие операции:1)Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания признака; принять за первую выборку ту, значения признака в которой предположительно выше, а за вторую – ту, где значения признака предположительно ниже.2)Определить максимальное значение признака во второй выборке и подсчитать количество значений признака в первой выборке, которые больше его (S₁).3) Определить минимальное значение признака в первой выборке и подсчитать количество значений признака во второй выборке, которые меньше его (S₂).4)Рассчитать значение критерия Q = S₁ + S₂. 5)По таблице определить критические значения критерия для данных n₁ и n₂. Если полученное значение Q превышает табличное или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение Q меньше табличного, принимается нулевая гипотеза.

U-критерий Манна-Уитни- Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума. Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Для применения U-критерия Манна — Уитни нужно произвести следующие операции:1)Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг. Общее количество рангов получится равным: N = n₁ + n₂, где n₁ — количество единиц в первой выборке, а n₂ — количество единиц во второй выборке.2) Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно — на долю элементов второй выборки. определить большую из двух ранговых сумм (T_x), соответствующую выборке с n_x единиц. 3) Определить значение U-критерия Манна — Уитни по формуле:

4)По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных n₁ и n₂. Если полученное значение U меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение U больше табличного, принимается нулевая гипотеза. Достоверность различий тем выше, чем меньше значение U. 5) При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет математическое ожидание   и дисперсию   и при достаточно большом объёме выборочных данных   распределён практически нормально.

Критерий Колмогорова - используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.Критерий Колмогорова — Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из основных и наиболее широко используемых непараметрических методов, так как достаточно чувствителен к различиям в исследуемых выборках.

Т-Критерий Уилкоксона. - непараметрический статистический критерий, используемый для проверки различий между двумя выборками парных измерений. Впервые предложен Франком Уилкоксоном.Данный критерий имеет другие названия: W критерий Уилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, критерий суммы рангов Уилкоксона, Критерий Уилкоксона для связных выборок.Критерий предназначен для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность, то есть, способен определить, является ли сдвиг показателей в одном направлении более интенсивным, чем в другом.Данный критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены, по крайней мере, в порядковой шкале. Это объясняется тем, что разброс значений сдвигов должен быть таким, чтобы появлялась возможность их ранжирования. В случае если сдвиги незначительно отличаются между собой, и принимают какие-то конечные значения, например. +1, -1 и 0, формальных препятствий к применению критерия нет, но, ввиду большого числа одинаковых рангов, ранжирование утрачивает смысл, и те же результаты проще было бы получить с помощью критерия знаков. Суть метода состоит в том, что мы сопоставляем абсолютные величины выраженности сдвигов в том или ином направлении. Для этого сначала все абсолютные величины сдвигов ранжируются, а потом суммируются ранги. Если сдвиги в ту или иную сторону происходят случайно, то и суммы их рангов окажутся примерно равны. Если же интенсивность сдвигов в одну сторону больше, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях. Ограничения критерия: 1)Объем выборки – от 5 до 50 элементов;2)Нулевые сдвиги исключаются из рассмотрения. (Это требование можно обойти, переформулировав вид гипотезы. Например: сдвиг в сторону увеличения значений превышает сдвиг в сторону их уменьшения и тенденцию к сохранению на прежнем уровне); 3)Сдвиг в более часто встречающемся направлении принято считать «типичным», и наоборот.