- •1, Визначники другого і третього порядку, їх властивості.
- •3, Вектором называется направеный отрезок, тоесть отрезок имеющий определенную длину и определенное направление.
- •Свойства векторного произведения
- •9, Мішаний добуток векторів, його обчислення і властивості. Геометричний зміст мішаного добутку. Необхідні і достатні умови компланарності трьох векторів.
- •Свойства смешанного произведения
3, Вектором называется направеный отрезок, тоесть отрезок имеющий определенную длину и определенное направление.
Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.
Число, равное длине ветора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом или а. Если , то вектор называется единичным.
Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектора и обозначается обычно символом .
Проекцией вектора на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка является проекцией точки А на ось u, а - проекцией точки В на эту ось.
Проекция вектора на ось u обозначается символом . Если вектор обозначен символом , то его проекцию на ось u принято обозначать: .
Проекция вектора на ось u выражается через его модуль и угол наклона к оси u формулой
Проекции произвольного вектора на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство ={X, Y, Z} означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X=Y=Z=0, называется нулевым и обозначается .
Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки (M1 (x1,y1,z1) и M2(x2, y2, z2), являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам , , .
Формула позволяет по координатам вектора определить его модуль.
Линейные операции над векторами:
Сложение векторов. Пусть и – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается
Вычитание векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : : и
Если векторы и привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому»
Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями:
,
при и при .
Очевидно, что при .
Построим, например, векторы и для заданного вектора .
Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :
Свойства линейных операций:
;
;
; ;
;
;
;
; ;
Пусть дан вектор . Ортом вектора (обозначается ) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором .
Очевидно, для любого вектора .
4, Вектори в декартовій системі координат. Рассмотрим случай трехмерного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку и возьмем произвольную точку . Радиус-вектором точки по отношению к точке называется вектор .
Если в пространстве выбран базис, то вектор раскладывается по этому базису. Таким образом точке можно сопоставить упорядоченную тройку чисел -- координаты ее радиус-вектора.
Определение Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.
Точка носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая -- осью абсцисс, вторая -- осью ординат, третья -- осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.
Определение Координаты радиус-вектора точки по отношению к началу координат называются координатами точки в рассматриваемой системе координат.
Первая координата называется абсциссой, вторая -- ординатой, третья -- аппликатой.
Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты -- абсциссу и ординату.
Координаты точки обычно пишут в скобках после буквы, обозначающей точку, например , .
Направляючі косинуси вектора. Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .
Рис. 12
Из свойств проекций: , , . Следовательно,
, , . (2.5)
Легко показать, что
;
координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: .
5, Поділ відрізка в заданому відношенні. Говорят, что точка делит отрезок в отношении , если , или (рис. 13).
Рис. 13
Пусть координаты точек и известны: , . Найдем координаты точки . Очевидно, что , где , . Приравнивая координаты векторов, найдем:
, , . (2.6)
В частности, если – середина отрезка , то , тогда
, , . (2.7)
6, Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.
Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a| cosg=пр ba, (см. рис.14), a |b| cosg = пр ab, то получаем:
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
Решение:
5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0 ¹b, то а ^ b
.
Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
т.е
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Пример 6.2.
Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.
Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: АС = (6;9;-3) и BD = (6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов:
АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0.
Отсюда следует, что AC^BD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
Угол между векторами
Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (ax; ay; az) и b=( bх; bу; bг):
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид:
Механический смысл скалярного произведения
Работа A постоянной силы
, действующей на материальнную точку, при ее перемещениин из точки A в точку B определяется формулой
A = (, ).
7, Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):
i х j = k, j х k = i, k х i = j. Докажем, например, что iхj=k.
1) k^i, k^j;
2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;
3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).