26. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Доказательство + примеры: http://webmath.exponenta.ru/s/pyartli1/node22.htm

17=27.Каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве.

28. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример: Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4). Применяя записанную выше формулу, получаем:

29. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности

Угол между прямыми в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l1: l2: , где

Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

30.Общее уравнение прямой. Прямая как линия пересечения двух плоскостей.

Общее уравнение прямой:

Уравнение Ах+Ву+С=0

(где А, В, С могут иметь любые значения, лишь бы коэффициенты А, В не были нулями оба сразу) представляет прямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называют общим уравнением прямой.

Если А=0, то есть уравнение не содержит х, то оно представляет прямую, параллельную оси ОХ.

Если В=0, то есть уравнение не содержит у, то оно представляет прямую, параллельную оси ОY.

Когла В не равно нулю, то общее уравнение прямой можно разрешить относительно ординаты у, тогда оно преобразуется к виду: y=ax+b (где a=-A/B; b=-C/B).

Аналогично, при А отличным от нуля общее уравнение прямой можно разрешить относительно х.

Если С=0, то есть общее уравнение прямой не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через начало координат.

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений:

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.