- •Билеты по АиГ
- •Определители второго и третьего порядка
- •Свойства определителей
- •Формулы Крамера
- •Матрицы и действия над ними
- •Обратная матрица
- •Решение систем матричных уравнений линейным способом.
- •Метод Гаусса
- •Векторы и линейные операции над ними
- •Базис в r2 и r3
- •Проекция вектора на ось
- •11.Ортонормированный базис. Декартовы координаты вектора.
- •16. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Параметрические уравнения прямой
- •Каноническое уравнение прямой
- •18. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки
- •19 Копия 29(смотреть теорию в нём)
- •20. Уравнение прямой в отрезках на осях
- •21. Расстояние от точки до прямой
- •22. Общее уравнение плоскости
- •23. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности Угол между плоскостями.
- •Условие перпендикулярности плоскостей.
- •24. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки
- •25. Уравнение плоскости в отрезках на осях
- •26. Расстояние от точки до плоскости
- •28. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки
- •Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Обратная матрица
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.
Свойства обратной матрицы:
, где det обозначает определитель
для любых двух обратимых матриц A и B.
где * T обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Пример решения: http://www.mathelp.spb.ru/book1/omatrix.htm
Решение систем матричных уравнений линейным способом.
Запишем систему линейных 3 уравнений с 3 неизвестными
Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных
А =
Введем в рассмотрение матрицы - столбцы для неизвестных и свободных членов:
Х = ; В =
Тогда систему (2) можно переписать в матричной форме
АХ=В
Умножив это уравнение на слева, получим , откуда = или
Следовательно, матрица - решение Х находится как произведение на В.
Метод Гаусса
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Решить систему уравнений методом Гаусса:
x + y - 3z = 2,
3x - 2y + z = - 1,
2x + y - 2z = 0.
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы:
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:
~
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:
x + y - 3z = 2,
-5y + 10z = -7,
- 10z = 13.
Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.
Векторы и линейные операции над ними
Вектор - направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало и конец.
Суммой двух векторов и называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правильно треугольника). Построение суммы изображено на рис. 1.
Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы и приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала и Отсюда сразу следует, что
Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов , , , ).
Разность двух векторов и называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор . Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу «уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом . Легко видеть, что . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».
Произведение (или также ) вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа ; он параллелен вектору или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор , если - число положительное, и противоположно вектору , если - число отрицательное.
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.