- •Билеты по АиГ
- •Определители второго и третьего порядка
- •Свойства определителей
- •Формулы Крамера
- •Матрицы и действия над ними
- •Обратная матрица
- •Решение систем матричных уравнений линейным способом.
- •Метод Гаусса
- •Векторы и линейные операции над ними
- •Базис в r2 и r3
- •Проекция вектора на ось
- •11.Ортонормированный базис. Декартовы координаты вектора.
- •16. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Параметрические уравнения прямой
- •Каноническое уравнение прямой
- •18. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки
- •19 Копия 29(смотреть теорию в нём)
- •20. Уравнение прямой в отрезках на осях
- •21. Расстояние от точки до прямой
- •22. Общее уравнение плоскости
- •23. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности Угол между плоскостями.
- •Условие перпендикулярности плоскостей.
- •24. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки
- •25. Уравнение плоскости в отрезках на осях
- •26. Расстояние от точки до плоскости
- •28. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки
- •Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Формулы Крамера
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = Di/D, где D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi. Di =
Пример решения: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%CA%F0%E0%EC%E5%F0%E0
Матрицы и действия над ними
Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Обычно матрицы представляются двумерными (прямоугольными) таблицами. Иногда рассматривают многомерные матрицы или матрицы непрямоугольной формы. В данной статье они рассматриваться не будут.У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (aij) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят «матрица размерности », подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов. В одной матрице всегда ,
Пусть aij — элементы матрицы A, а bij — элементы матрицы B.
Линейные операции:
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен bij = λaij
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен cij = aij + bij
Вычитание матриц A − B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой cij = aij - bij
Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.
Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть A + Θ = A
Все элементы нулевой матрицы равны нулю.
Нелинейные операции:
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .
Возводить в степень можно только квадратные матрицы.
Транспонирование матрицы (обозначение: AT) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть
Если A — матрица размера , то AT — матрица размера
Свойства операций над матрицами
Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.
Коммутативность сложения: A + B = B + A.
Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.
Вообще говоря, умножение матриц не коммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.
Дистрибутивность умножения относительно сложения:
A(B + C) = AB + AC;
(B + C)A = BA + CA.
С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.
Свойства операции транспонирования матриц:
(AT)T = A
(AB)T = BTAT
(A − 1)T = (AT) − 1, если обратная матрица A - 1 существует.