Показательные и логарифмические функций.

1) При a > 0, a = 1, определена функция y = a x , отличная от

постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a.

2) Логарифмической называется функция вида у = loga x, где а – заданное число,

а > 0, а ≠ 1.

Рассмотрим свойства логарифмической функции.

1) Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел.

Это утверждение следует из определения логарифма, так как только при х > 0 выражение loga x имеем смысл.

2) Множество значений логарифмической функции представлено множеством R всех действительных чисел.

Это утверждение следует из того, что для любого числа b (b – действительное чсило) есть такое положительное число х, что loga x = b, т.е. уравнение Мы рассматриваем функцию вида Y = логорифм по основанию А, Х, где А больше нуля и А не равно единице.

Область определения функции - множество положительных чисел, а область значений - множество всех действительных чисел.

Ясно, что функция не является ни четной и ни нечетной, т.к. область определения не симетрична ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

Y = нулю в одной точке - при Х = единице.

График логорифмической функции выглядит так. Проходит через точку один на оси Х, это в случае А больше единицы,

а при А меньше единицы и больше нуля он выглядит так.

Отметим промежутки знакапостоянства. Для А больше единицы, Y положительна в промежутке от единицы до плюс бесконечности и отрицательна в промежутке от нуля до единицы.

Если же А меньше единицы, то Y положитедьна в промежутке от нуля до единицы и отрицательна в промежутке от единицы до плюс бесконечности.

Все эти утверждения становятся очевидными, если посмотреть на график этой функции.

Удобно запоминать не эти утверждения, а вид графиков

при А больше единицы и при А меньше единицы, тогда промежутки знакапостоянства легко могут быть выведены.

Отметим также промежутки возрастания и убывания. При А больше единицы, функция возрастает на всей области определения: от нуля до плюс бесконечности,

а при А больше нуля и меньше единицы она убывает на всей области определения.

Функция не имеет экстремумов.

3) Логарифмом числа b по основанию a (b > 0, a > 0, a <> 1) называется показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы получить число b:

Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством. Равенство logab = x означает, что ax = b.

Логарифм по основанию 10 имеет специальное обозначение log10 x = lg x и называется десятичным логарифмом. Для десятичных логарифмов справедливы равенства:10lg x = x, lg 10n = n

Логарифм по основанию e имеет в математике большое значение. Число e приблизительно равно 2,7. Более точное выражение:e = 2,718281828459045...

однако само число e является иррациональным. Для логарифма по этому основанию также существует специальное обозначение loge x = ln x и название натуральный логарифм. Среди свойств числа e, в частности, можно отметить следующее: касательная к графику функции y = ex в точке (0; 1) образует с осью абсцисс угол 45°. Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день