Экзаминационые ответы по алгебре и геометрий
1). Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах
Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа)
Комплексным числом z называется выражение следующего вида:
Комплексное число в алгебраической форме,(1)
Где x, y ;
i — это мнимая единица, определяемая равенством i2 = –1.
Основные термины:
x = Re z — действительная часть комплексного числа z;
y = Im z — мнимая часть комплексного числа z;
— комплексно сопряженное число числу z;
— противоположное число числу z;
— комплексный ноль;
– так обозначается множество комплексных чисел.
Примеры
1)z = 1 + i Re z = 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i;
2)z = –1 + i Re z = –1, Im z = , = –1 – i, = –1 – i;
3)z = 5 + 0i = 5 Re z = 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5
если Im z = 0, то z = x — действительное число;
4)z = 0 + 3i = 3i Re z = 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i, = –0 – 3i = – 3i
если Re z = 0, то z = iy — чисто мнимое число.
Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства) Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах
Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа)
Комплексным числом z называется выражение следующего вида:
Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:
тригонометрическую формы числа z = z1 + z2 . Изобразить числа z1 , z2 и z на комплексной плоскости. Вычислить z12 по формуле Муавра.
Корни с тепени:
1). 1.Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей с тем же показателем:
(abc...)n=anbncn...
Практически более важно обратное преобразование:
anbncn...=(abc...)n,
т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.
2.Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:
3.При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
aman=am+n
4.При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого:
am/an=am-n
5.При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:
(am)n=amn.
2). Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .
Если — чётно.
Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается
Если — нечётно.
3). Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a+b)2=a2+2ab+b2
Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a-b)2=a2-2ab+b2
Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2
Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3