Выражения (1), (2) и (3) составляют экономико-математическую модель задачи линейного программирования.
Для представления задачи в символьном виде введем обозначения:
Хj – количество выпускаемых изделий j-го типа, j = ;
n – количество типов изделий;
аij – затраты времени на единицу j-го типа изделия в i-м цехе, i = ;
m – количество производственных подразделений (цехов);
bi – ресурс рабочего времени для i–го цеха;
Сj – доход от реализации единицы j–го типа изделия.
Тогда модель можно записать в следующем виде:
а11
x1
+ а12
x2
+ а13
x3
+ а14
x4
b1,
а21 x1 + а 22 x2 + а23 x3 + а24 x4 b2,
а31 x1 + а 32 x2 + а33 x3 + а34 x4 b3,
f(x) = C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 + C4 x4 max,
x1, x2, x3, x4 0.
2. Задача оптимального использования ресурсов
Предприятие выпускает n различных видов изделий. Для их производства требуется m различных видов ресурсов. Ресурсы ограничены bi единицами (i = ). Известны технологические коэффициенты аij, которые указывают, сколько единиц i–го ресурса требуется для производства единицы изделия j–го вида (i = ; j = ). Прибыль от реализации единицы изделия j–го вида равна Сj.
Составить программу выпуска (план) продукции, при реализации которой прибыль была бы максимальной.
Виды ресурсов |
Виды изделий |
Запасы ресурсов |
1 … j … n |
||
1 … i … m |
а11 … а 1j … а1n …………………….. аi1 … аij … а in …………………… аm1… аmj … аmn |
b1 … bi … bm |
Прибыль |
С1 … Сj … Сn |
__ |
Обозначим через Хj – объем выпуска изделий j–го вида. Найдем расход ресурсов i–го типа на все виды изделий
а11
x1
+ … + а1j
xj
+…+ а1n
xn
b1,
……………………………………
аi1 x1 + …+ аij xj + … + аin xn b2,
……………………………………
аm1 x1 + … + аmj xj + … + аmn xn bm.
Прибыль от реализации
f(x) = C1 x1 + …+ Cj xj + …+ Cn xn max.
Условия неотрицательности получаемого решения
xj 0, (j = ).
3. Задача оптимального распределения заданий по участкам производства
Необходимо спланировать программу выпуска однородной продукции в n производственных подразделениях, которые различаются по мощности и по технологическому процессу. Для изготовления этой продукции требуется m видов ресурсов, запасы которых ограничены.
Обозначим через аij коэффициенты расхода i–го вида ресурса (i = ) в j–м подразделении в единицу времени, через bi – запасы i–го ресурса, а Cj– показатели производительности j–го подразделения (j = ). Оптимальный план должен обеспечить максимальный объем выпуска продукции.
Виды ресурсов |
Подразделения производства |
Запасы ресурсов |
1 … j … n |
||
1 … i … m |
а11 … а1j … а1n …………………….. аi1 … аij … аin …………………… аm1 … аmj … аmn |
b1 … bi … bm |
Производительность |
С1 … Сj … Сn |
__ |
Пусть Хj – время работы j–го подразделения при выполнении производственного задания.
Суммарный расход ресурсов
а11
x1
+ … + а1j
xj
+…+ а1n
xn
b1,
………………………………………
аi1 x1 + …+ аij xj + … + аin xn b2,
……………………………………
аm1 x1 + … + аmj xj + … + аmn xn bm.
Максимальный выпуск продукции
f(x) = C1 x1 + …+ Cj xj + …+ Cn xn max.