- •Содержание
- •Модели линейного программирования
- •Примеры задач линейного программирования
- •Фирма выпускает четыре вида персональных компьютеров
- •Выражения (1), (2) и (3) составляют экономико-математическую модель задачи линейного программирования.
- •Условия неотрицательности получаемого решения
- •Условие неотрицательности решения
- •Условие неотрицательности решения
- •Общая задача линейного программирования
- •Стандартная (симметричная) задача линейного программирования
- •Каноническая (основная) задача линейного программирования
- •Представление задачи линейного программирования в канонической форме
- •Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •Решение задач линейного программирования симплекс-методом
- •Транспортная задача
- •Нахождение первоначального плана
- •Циклы пересчета
- •Открытая транспортная задача
- •Определение оптимального плана транспортных задач,имеющих дополнительные условия
- •Распределительный метод решения транспортной задачи
- •Метод потенциалов
- •Модель межотраслевого баланса
- •Характеристика основных разделов и схема межотраслевого баланса
- •Основные балансовые соотношения
- •Экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Модель Леонтьева
- •Методы отыскания вектора валовых выпусков и вектора конечной продукции
- •Смешанная задача межотраслевого баланса
- •Элементы и теория игр Основные понятия теории игр
- •Матричные игры
- •Игра с седловой точкой
- •Игра в смешанных стратегиях
- •Решение игры в смешанных стратегиях
- •Игра два на два (2 х 2)
- •Литература
Смешанная задача межотраслевого баланса
Для решения третьей задачи баланса все отрасли разделим на две группы. К первой группе отнесем отрасли, для которых задан конечный продукт. Множество номеров этих отраслей обозначим индексами i, j = . Ко второй группе отнесем отрасли, для которых задан валовой выпуск. Множество номеров этих отраслей обозначим индексами i, j = . Тогда вектор валовых выпусков можно разделить на два подвектора
Х = , (32)
где Х1 – искомый подвектор с элементами Хi(i = );
- заданный подвектор с элементами Хi(i = ).
Аналогично вектор конечного продукта можно разделить на два подвектора
Y = , (33)
где – подвектор с известными значениями Yi(i = );
Y2 - подвектор с неизвестными значениями Yi(i = ).
Матрица А разбивается на четыре подматрицы
А = , (34)
где А11 – подматрица с элементами аij (i, j = );
А12 – подматрица с элементами аij (i = ; j = );
А21 – подматрица с элементами аij (i = ; j = );
А22 – подматрица с элементами аij (i, j = ).
Для нахождения неизвестных подвекторов Х1 и Y2, зная А, , , представим модель Леонтьева в следующем виде:
+ = . (35)
Раскроем это выражение
А 11Х1 + А12 + = Х1 (36)
А21Х1 + А22 + Y2= .
Из первого уравнения этой системы найдем
Х1 = (Е – А11)-1 (А12 + ). (37)
Из второго уравнения найдем
Y2 = (Е – А22) - А21 Х1 . (38)
Найдя из выражения (37) Х1 и подставив в выражение (38),
получим Y2.
Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А:
А = .
Конечный продукт первой отрасли равен 8 ед., объем производства второй отрасли равен 10 ед., а третьей – 15 ед. Определить объем производства первой отрасли и конечный продукт второй и третьей.
Решение. Согласно изложенному ранее первая отрасль входит в первую группу, а вторая и третья – во вторую группу, тогда
Х = , , Y = ,
А11 = (0) А12 = (0,1 0,2)
А21 = А22 = .
Из формулы (16) найдем
Х1 = (1 - 0)-1 [(0,1 0,2) + 8] = 12
Из формулы (17) найдем
Y2 = - 12 = .
Ответ. Таким образом, валовой выпуск первой отрасли равен 12 ед., конечный продукт второй и третьей равен 3,1 ед. и 9,8 ед. соответственно.
Элементы и теория игр Основные понятия теории игр
При решении задач в области экономики и управления производством в условиях неполноты и неточности информации возможны ситуации, когда необходимо принятие решений в условиях риска и неопределенности.
Предметом изучения теории игр являются ситуации, когда отсутствует полнота информации, а аппарат теории игр предназначен для выбора оптимальных решений в условиях неопределенности. Методы теории игр разработаны применительно к специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу действия участников многократно повторяющегося конфликта. Под конфликтными ситуациями понимается положение, когда сталкиваются интересы двух и более сторон, причем выигрыш зависит от того, как поведут себя другие стороны. Математический анализ конфликта возможен при построении математической модели конфликта. Такая модель называется игрой. От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам, которые участникам конфликта известны и строго выполняются. Игра называется парной, если в ней участвуют две стороны. Если в парной игре выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, то такая парная игра называется игрой с нулевой суммой. Конечной игрой называется игра с конечным числом стратегий. Стратегией называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действия при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Ходы бывают личные и случайные. При случайном ходе – выбор стратегии случайный. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает ему максимальный средний выигрыш или минимальный средний проигрыш.