Основные балансовые соотношения

Первое балансовое соотношение выражает связь между первым и вторым разделами балансовой модели

+ y_i = X_i, i = , (24)

т.е. валовой выпуск отрасли равен сумме промежуточного и конечного продукта.

Второе балансовое соотношение выражает связь между первым и третьим разделами балансовой модели

+ Z_j = X_j, j = , (25)

т.е. общие расходы отрасли равны сумме материальных затрат и добавленной стоимости.

Третье балансовое соотношение выражает связь между вторым и третьим разделами балансовой модели

= , (26)

т.е. сумма конечной продукции отраслей равна сумме добавленной стоимости этих отраслей.

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Модель Леонтьева

Запишем первую систему балансовых соотношений, характеризующих распределение продукции отраслей материального производства:

+ y_i = X_i, i = .

Предположим, что межотраслевой поток продукции, идущей из i–й отрасли в j–ю, прямо пропорционален валовому выпуску той отрасли, куда они направляются, т.е.

X_ij = а_ij  X_j. (27)

Коэффициенты пропорциональности а_ij называются коэффициентами прямых материальных затрат и характеризуют количество продукции i–й отрасли, необходимой для выпуска единицы продукции j–й отрасли. Будем полагать, что коэффициенты а_ij постоянны в некотором промежутке времени, охватывающем как отчетный, так и предстоящий (планируемый) период.

Подставим выражение (6) в первое балансовое соотношение

+ y_i = X_i, i = . (28)

Выражение (28) называется системой уравнений межотраслевого баланса или экономико-математической моделью межотраслевого баланса, или моделью Леонтьева. Модель Леонтьева в матричном виде

АХ + Y = Х, (29)

где

А = , Х = , Y = .

Можно сформулировать три типа задач межотраслевого баланса:

1. Известны коэффициенты прямых материальных затрат (а_ij; i,j = ) и объемы конечного продукта всех отраслей а_i. Найти объемы валового выпуска каждой отрасли X_i.

2. Известны объемы валового выпуска всех отраслей X_i и коэффициенты прямых материальных затрат а_ij. Найти объемы конечной продукции каждой отрасли y_i.

3. Известны коэффициенты прямых материальных затрат а_ij. Заданы объемы валового выпуска для части отраслей и объемы конечной продукции для всех остальных отраслей. Найти объемы конечной продукции для первых отраслей и объемы валового выпуска для вторых.

Методы отыскания вектора валовых выпусков и вектора конечной продукции

Для решения первой задачи существует два метода: точный и приближенный.

а) Точный метод отыскания вектора валовых выпусков Х.

Запишем модель Леонтьева в матричном виде

АХ + Y = Х, откуда: Х – АХ =Y или (Е - А)  Х = Y, (30)

где Е – единичная матрица той же размеренности, что и матрица А;

(Е - А) – матрица Леонтьева.

Отсюда решение задачи находится из следующего выражения:

Х = (Е - А)^-1  Y, (31)

где (Е - А)^-1 – обратная к матрице Леонтьева матрица.

Неотрицательное решение задачи существует, если 0  а_ij < 1:

< 1, j = .

б) Приближенный метод отыскания вектора валовых выпусков.

Разложим матрицу (Е - А)^-1 в ряд Тейлора, получим

(Е - А)^-1 = Е + А + А² + … + А^k + …

Подставим найденное выражение в зависимость (31).

Для решения второй задачи межотраслевого баланса запишем модель Леонтьева в матричном виде АХ + Y = Х, откуда получим выражение (30) Y = (Е - А)  Х.