E. Характеристики различных типов спектральных и временных окон

Применение окна или взвешивание сигнала во временной области эквивалентно умножению этого сигнала на вырезающую функцию. Поскольку умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области, то спектр взвешенного сигнала равен свертке спектра исходного сигнала и спектра окна. Взвешивание изменяет форму сигнала во временной области и влияет на спектр, который мы наблюдаем.

В зависимости от приложения один тип окон может быть полезнее других. Используя экспресс-ВП Spectral Measurements, вы можете выбрать следующие типы окон: rectangular (прямоугольное – отсутствие окна), Hanning, Hamming, Blackman-Harris, Exact Blackman, Blackman, Flat Top, 4 Term B-Harris, 7 Term B-Harris и Low Sidelobe. В палитре Analyze»Signal Processing»Windows можно дополнительно найти следующие функции окон: Exponential, General Cosine, Cosine Tapered, Force, Kaiser-Bessel и Triangle.

Rectangular (Прямоугольное)

Прямоугольное окно имеет значение, равное единице, на всем временном интервале. Математически это может быть записано как

w[n] = 1.0 для n = 0, 1, 2, ..., N – 1

где N – это длина окна. Применение прямоугольного окна эквивалентно не использованию окна, поскольку прямоугольная функция просто обрезает сигнал в пределах ограниченного временного интервала. Прямоугольное окно имеет наибольшую величину утечки спектра. На рисунке 6-4 показан пример прямоугольного окна при N = 32.

Рисунок 6-4. Прямоугольное окно.

Прямоугольное окно применяется для анализа переходных процессов, имеющих длительность меньше длины окна. Оно также используется для отслеживания порядков, куда подстраивается частота дискретизации в зависимости от скорости вращения вала машины. В этом случае, оно помогает обнаружить главную моду и гармоники вибрации машины.

Hanning

Окно Хэнинга (Hanning) имеет форму, похожую на половину периода косинуса. Оно задается выражением:

w[n] = 0.5 – 0.5 cos(2n/N) для n = 0, 1, 2, ..., N – 1

Рисунок 6-5 показывает окно Хэнинга при N = 32.

Рисунок 6-5. Окно Хэнинга

Окно Хэнинга применяется для анализа переходных процессов, имеющих длительность больше длительности окна, а также для других универсальных приложений.

Hamming

Окно Хэмминга (Hamming) – это модифицированное окно Хэнинга. Его форма также напоминает косинус и может быть задана следующим выражением:

w[n] = 0.54 – 0.46 cos(2n/N) для n = 0, 1, 2, ..., N – 1

Рисунок 6-6 показывает окно Хэмминга при N = 32.

Рисунок 6-6. Окно Хэмминга

Окна Хэнинга и Хэмминга очень похожи. Но во временной области окно Хэмминга не подходит к нулю вблизи границ так близко, как окно Хэнинга.

Blackman–Harris

Окно Блэкмана-Харриса (Blackman-Harris), как и окно Хэнинга, применяется для измерения очень слабых компонент на фоне большого входного сигнала, таких как нелинейные искажения.

Окно Блэкмана-Харриса применяет трехсоставное взвешивание к входному сигналу. Оно задается формулой:

w[n] = 0.422323 – 0.49755 cos(2n/N) + 0.07922 cos(4n/N)

для n = 0, 1, 2, ..., N – 1

Рисунок 6-7 показывает пример окна Блэкмана-Харриса при N = 32.

Рисунок 6-7. Окно Блэкмана-Харриса

Exact Blackman

Окно Exact Blackman похоже на окно Блэкмана-Харриса, но с меньшим спадом на краях.

Оно задается как:

w[n] = [a0 – a1 cos(2n/N) + a2 cos(4n/N)]

для n = 0, 1, 2, ..., N – 1

a0 = 7938/18608

a1 = 9240/18608

a2 = 1430/18608

Рисунок 6-8 показывает пример окна Exact Blackman при N = 32.

Рисунок 6-8. Окно Exact Blackman

Blackman

Окно Blackman похоже на окна Хэнинга и Хэмминга, но имеет дополнительное косинусоидальное слагаемое для большего уменьшения эффекта волнистости. Оно определяется как:

w[n] = 0.42 – 0.5 cos(2n/N) + 0.08 cos(4n/N)

для n = 0, 1, 2, ..., N – 1

Рисунок 6-9 показывает окно Blackman при N = 32.

Рисунок 6-9. Окно Blackman

Flat Top

Окно с плоской вершиной (Flat Top) содержит больше слагаемых с косинусом, чем все другие окна, изученные нами. Второе слагаемое обуславливает спад функции ниже нуля.

Оно может быть задано как:

w[n] = 0.21557895 – 0.41663158 cos(2n/N) + 0.277263158 cos(4n/N) –

0.083578947 cos (6n/N) + 0.006947368 cos (8n/N)

для n = 0, 1, 2, ..., N – 1

Рисунок 6-10 показывает окно с плоской вершиной при N = 32.

Рисунок 6-10. Окно с плоской вершиной.

4 Term B-Harris

Окно 4 Term B-Harris – развитие окна Блэкмана-Харриса, добавляющее дополнительное слагаемое с косинусом.

Его можно задать формулой:

w[n] = 0.35875 – 0.48829 cos(2n/N)

+ 0.14128 cos(4n/N) – 0.01168 cos(6n/N)

для n = 0, 1, 2, ..., N – 1

Рисунок 6-11 показывает окно 4 Term B-Harris при N = 32.

Рисунок 6-11. Окно 4 Term B-Harris

7 Term B-Harris

Окно 7 Term B-– развитие окна Блэкмана-Харриса, добавляющее четыре дополнительных слагаемых с косинусом.

Оно определяется как:

w[n] = 0.27105 – 0.43329 cos(2n/N) + 0.21812 cos(4n/N)

– 0.06593 cos(6n/N) + 0.01081 cos(8n/N)

– 7.7658E-4 cos(10n/N) + 1.3887E – 5 cos(12n/N)

для n = 0, 1, 2, ..., N – 1.

Рисунок 6-12 показывает окно 7 Term B-Harris при N = 32.

Рисунок 6-12. Окно 7 Term B-Harris

Low Sidelobe

Окно Low Sidelobe еще больше сужает размер главного пика спектра мощности.

Оно определяется как:

w[n] = 0.323215218 – 0.471492057 cos(2n/N) + 0.17553428 cos(4n/N)

–0.028497078 cos(6n/N) + 0.001261367 cos(8n/N)

для n = 0, 1, 2, ..., N – 1

Рисунок 6-13 показывает окно Low Sidelobe при N = 32.

Рисунок 6-13. Окно Low Sidelobe

F. Критерии выбора типа окна

Выбор типа окна зависит от типа имеющего сигнала и от того, что вы хотите в нем исследовать. Правильный выбор окна требует знания исследуемого сигнала. Следующая таблица показывает различные типы сигналов и окна, которые можно применять для их обработки.

Тип сигнала	Окно
Переходная характеристика, чья длительность меньше длины окна	Прямоугольное
Переходная характеристика, чья длительность больше длины окна	Хэнинга
Универсальные приложения	Хэнинга
Отслеживание порядков мод	Прямоугольное
Системный анализ (измерения частотного отклика)	Хэнинга (для случайного возбуждения), прямоугольное (для псевдослучайного возбуждения)
Разделение двух мод с очень близкими частотами, но сильно отличающимися амплитудами	Kaiser-Bessel
Разделение двух мод с очень близкими частотами и почти одинаковыми амплитудами	Прямоугольное

Если у вас недостаточно априорных знаний о сигнале, проверка различных вариантов окон поможет выбрать лучшее.

Окно	Уравнение	Форма	Применения
Прямоугольное	w[n] = 1.0		Переходная характеристика, чья длительность меньше длины окна, отслеживание порядков мод, разделение двух мод с очень близкими частотами и почти одинаковыми амплитудами, исследование отклика системы
Хэнинга	w[n] = 0.5 – 0.5 cos(2n/N)		Универсальные приложения, системный анализ, переходная характеристика, чья длительность больше длины окна,
Хэмминга	w[n] = 0.54 – 0.46 cos(2n/N)
Блэкмана-Харриса	w[n] = 0.422323 – 0.49755 cos(2n/N) + 0.07922 cos(4n/N)		Аналогично Blackman
Exact Blackman	w[n] = 7938/18608 – 9240/18608 cos(2n/N) + 1430/18608 cos(4n/N)		Аналогично Blackman
Blackman	0.42 – 0.5 cos(2n/N) + 0.08 cos(4n/N)		Переходные характеристики, аналогично окнам Хэнинга и Хэмминга, но содержит дополнительное слагаемое с косинусом для уменьшения волнистости
С плоской вершиной	w[n] = 0.21557895 – 0.41663158 cos(2n/N) + 0.277263158 cos(4n/N) – 0.083578947 cos(6n/N) + 0.006947368 cos (8n/N)		Точное измерение амплитуды отдельной моды в отсутствии близлежащих частотных компонент
4 Term B-Harris	w[n] = 0.35875 – 0.48829 cos(2n/N) + 0.14128 cos(4n/N) – 0.01168 cos(6n/N)		Аналогично Blackman
7 Term B-Harris	w[n] = 0.27105 – 0.43329 cos(2n/N) + 0.21812 cos(4n/N) – 0.06593 cos(6n/N) + 0.01081 cos(8n/N) – 7.7658E-4 cos(10n/N) + 1.3887E – 5 cos(12n/N)		Аналогично Blackman
Low Sidelobe	w[n] = 0.323215218 – 0.471492057 cos(2n/N) + 0.17553428 cos(4n/N) –0.028497078 cos(6n/N) + 0.001261367 cos(8n/N)

Упражнение 6-2. ВП Сравнение окон

Задача: создать ВП, который бы смог отделить два синусоидальных сигнала с очень близкими частотами, но сильно отличающимися амплитудами.

В данном упражнении складываются два синусоидальных сигнала различных амплитуд и преобразуются в частотную область. Первый сигнал имеет амплитуду, много меньшую второго. В частотной без использования взвешивания невозможно различить эти два синусоидальных сигнала. Используя подходящее окно, можно четко различить пики в частотной области, соответствующие двум синусоидам. График сигналов в частотной области показывает результаты, так что вы можете сравнить эффект применения различных взвешивающих функций.

Лицевая панель

1. Откройте новый ВП и постройте следующую лицевую панель.

Блок-диаграмма

2. Создайте следующую блок-диаграмму.

a. Поместите экспресс-ВП Simulate Signal, расположенный в палитре Functions»Signal Analysis, на блок-диаграмму. Этот экспресс-ВП генерирует сигнал определенного типа, в данном случае синусоиду. В появившемся диалоговом окне конфигуратора Configure Simulate Signals установите Samples per Second (Hz) равным 1000, уберите отметку из окошка метки Automatic и введите значение 1000 для Number of Samples. Остальные значения оставьте по умолчанию. Нажмите кнопку OK для выхода из диалогового окна.

b. Поместите экспресс-ВП Spectral Measurements, расположенный в палитре Functions»Signal Analysis, на блок-диаграмму. Этот ВП выполняет БПФ входного сигнала. В появившемся диалоговом окне конфигуратора Configure Spectral Measurements выберите Power Spectrum, установите Result в dB, выберите None из выпадающего меню Window (окно) и уберите отметку из окошка метки Averaging (Усреднение). Нажмите кнопку OK для выхода из диалогового окна.

3. Сохраните ВП с именем Window Comparison.vi в директории C:\Exercises\LabVIEW DAQ.

4. Переключитесь на лицевую панель. Используя числовые элементы управления, установите амплитуду первого синусоидального сигнала равной 0.001, а второго – 1.000. Используя ручки управления, установите частоту первого синусоидального сигнала равной примерно 70, а частоту второго вблизи 60. Подстройка частоты второго сигнала ручкой управления приведет к тому, что пик с меньшей амплитудой будет приближаться к пику с большей амплитудой на графике частотной области.

5. Обратите внимание на графике, что при приближении частоты сигнала с меньшей амплитудой (Синусоидальный сигнал 1) к частоте сигнала с большей амплитудой (Синусоидальный сигнал 2) пик, соответствующий маленькому сигналу невозможно заметить. Разрывы при периодизации сигналов приводят к тому, что спектры расширяются. Сигналы с меньшей амплитудой теряются в побочных максимумах сигнала с большей амплитудой.

6. Остановите ВП и переключитесь на блок-диаграмму. Дважды щелкните кнопкой мыши на экспресс-ВП Spectral Measurements и выберите различные функции окон.

7. Переключитесь на лицевую панель и запустите ВП.

8. Сравните различные функции окон, выбирая другие окна для экспресс-ВП Spectral Measurements. Какое из них позволяет различить две частотные компоненты?

9. Остановите и закройте ВП после окончания работы с ним.

Конец упражнения 6-2

G. Фильтрация

Фильтрация – процесс, при помощи которого изменяют частотное содержимое сигнала. Это одна из наиболее часто используемых техник обработки сигналов. Ежедневные примеры фильтрации мы видим в стерео системах, где есть ручки управления басами и верхними частотами. Ручка управления басами изменяют низкочастотное содержимое сигнала, в то время как управление верхами изменяют высокочастотные компоненты сигнала. Вращая эти ручки, вы в действительности фильтруете аудио сигнал. Некоторыми другими приложениями, где полезна фильтрация, являются удаление помех и прореживание (низкочастотная фильтрация сигнала и уменьшение частоты выборки).