Занятие 6

О бработка сигналов

На этом занятии изучаются основы цифровой обработки сигналов.

Задачи:

A. Познакомиться с дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и быстрым преобразованием Фурье (БПФ)

B. Изучить понятия амплитуды и фазы

C. Спектральные утечки энергии и сглаживающие окнах

D. Ознакомиться с фильтрацией и случаями, когда она необходима

E. Изучить различия между БИХ и КИХ фильтрами

A. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и быстрое преобразование Фурье (БПФ)

Выборки сигнала, полученные с помощью DAQ устройства, составляют представление сигнала во временной области (time-domain). Это представление дает зависимость амплитуды сигнала от времени, в течение которого происходила выборка. Однако во многих случаях вам скорее понадобится знать частотное содержимое сигнала, а не амплитуды отдельных выборок. Представление сигнала на основе его отдельных частотных компонент известно как представление сигнала в частотной области (frequency-domain). Это представление дает лучшее понимание природы сигнала и системы, которая его сгенерировала.

Алгоритм, используемый для преобразования выборок данных из временной области в частотную, известен как дискретное преобразование Фурье или ДПФ (discrete Fourier transform – DFT). ДПФ устанавливает взаимосвязь между выборками сигнала во временной области и их представлением в частотной области. Это показано на следующей иллюстрации. ДПФ используется в спектральном анализе, прикладной механике, медицинской интроскопии, численном анализе, приборостроении, телекоммуникации и других областях.

Если вы получили N выборок сигнала с помощью DAQ устройства и затем применяете к N выборкам временного представления сигнала ДПФ, то результатом будут также N выборок, но содержащаяся в них информация будет находиться в частотной области.

Если выборка сигнала происходила с частотой fs Гц, то временной интервал между выборками (интервал дискретизации) равен Δt, где

Оцифрованный сигнал обозначается как x[i], 0 ≤ I ≤ N – 1(то есть всего имеется N выборок). Когда дискретное преобразование Фурье, вычисляемое по формуле

, для k = 0, 1, 2, …, N – 1, (6-1)

( где j – комплексная единица) применяется к этим N выборкам, то в результате (X[k], 0 ≤k ≤N – 1) получается представление x[i] в частотной области. Обратите внимание, что представления сигнала и во временной и в частотной областях имеют N выборок. Подобно тому, как во временной области промежуток между выборками был равен Δt, так и в частотной области существует частотный интервал

между компонентами X. Δf известен также как разрешение по частоте. Чтобы увеличить частотное разрешение (меньшие Δf), нужно либо увеличить количество выборок N при неизменной частоте выборки fs, либо уменьшить частоту выборки fs при неизменном количестве выборок N.

Пример вычисления дпф

Предположим, что X[0] соответствует постоянному смещению (или среднему значению) сигнала. Для вычисления ДПФ осциллограммы по формуле 6-1, рассмотрим постоянный сигнал с амплитудой +1 вольт. На следующей иллюстрации представлены четыре выборки такого сигнала.

Каждая из выборок имеет величину +1, что дает временную последовательность

x[0] = x[1] = x[2] = x[3] = 1

Используя уравнение 6-1 для вычисления ДПФ этой последовательности и применяя тождество Эйлера,

получим:

Кроме постоянной компоненты, X[0], все другие равны нулю, как и ожидалось. Однако, вычисленное значение X[0] зависит от величины N (числа выборок). Поскольку у нас было N = 4, X[0] = 4. Если бы N = 10, то мы бы получили X[0] = 10. Эта зависимость X[.] от N возникает также для всех остальных частотных компонент. Обычно результат ДПФ делят на N для получения правильной амплитуды частотной компоненты.

Амплитудная и фазовая информация

Как вы уже видели, N выборок входного сигнала дают в результате N выборок ДПФ. То есть число выборок временного и частотного представлений одинаково. Из уравнения 6-1 видно, что вне зависимости от того является ли исходный сигнал x[i] действительным или комплексным, X[k] всегда будет комплексным, хотя мнимая часть может быть равной нулю. Поскольку ДПФ – комплексное, оно содержит две части информации – амплитуду и фазу. Для действительных сигналов (x[i] – действительные), полученных, например, с выхода канала DAQ устройства, ДПФ – симметрично относительно индекса N/2 со следующими свойствами:

и фаза = – фаза

Симметрия амплитуды X[k] известна как четная, а фазы (X[k]) – нечетная. Сигнал с четной симметрией такой, который симметричен относительно оси у, а сигнал с нечетной симметрией симметричен относительно начала координат. Следующий рисунок демонстрирует эту ситуацию.

Результирующий эффект этой симметрии заключается в повторении информации, содержащейся в N выборках ДПФ. Из-за этого повтора информации для вычисления или отображения ДПФ необходима только половина всех выборок. Другую половину выборок можно получить из первой.

Примечание. Если входной сигнал – комплексный, то ДПФ не будет симметричным, тогда и указанный метод неприменим.

B. Частотный интервал и симметрия дпф/бпф

Поскольку интервал выборки равен t секунд, и предполагается, что первая (k = 0) выборка данных началась в 0 секунд, то k-ая (k > 0, k – целое) выборка данных произошла в kΔt секунд. Похожим образом разрешение по частоте, равное Δf, где , означает, что k-ая выборка ДПФ произошла на частоте kΔf Гц. Эти рассуждения справедливы для выборок с индексом большим половины всех выборок. Другая половина выборок представляет компоненты с отрицательной частотой. В зависимости от того четно или нечетно число выборок N, можно по-разному интерпретировать частоту, соответствующую k-ой выборке ДПФ.

Четное число выборок

Предположим, что N – четное и .

Следующая таблица показывает частоту, соответствующую каждому элементу комплексной результирующей последовательности X.

Элемент массива	Соответствующая частота
X[0]	постоянная составляющая
X[1]	Δf
X[2]	2Δf
X[3]	3Δf
. . .	. . .
X[p–2]	(p–2)Δf
X[p–1]	(p–1)Δf
X[p]	pΔf (частота Найквиста)
X[p+1]	–(p–1)Δf
X[p+2]	–(p–2)Δf
. . .	. . .
X[N–3]	– 3Δf
X[N–2]	– 2Δf
X[N–1]	– Δf

p-ый элемент X[p] соответствует частоте Найквиста. Отрицательные элементы во втором столбце, выходящие за пределы частоты Наквиста, представляют отрицательные частоты.

Например, если N = 8, p = N/2 = 4, тогда

X[0]DC

X[1] Δf

X[2]2Δf

X[3]3Δf

X[4]4Δf (частота Найквиста)

X[5]–3Δf

X[6]–2Δf

X[7]– Δf

X[1] и X[7], X[2] и X[6], X[3] и X[5] имеют попарно одинаковую амплитуду. Различие заключается в том, что X[1], X[2] и X[3] соответствуют положительным частотным компонентам, в то время как X[5], X[6] и X[7] – отрицательным. Обратите внимание, что X[4] находится на частоте Найквиста.

Следующий рисунок представляет эту комплексную последовательность при N = 8.

Такой тип представления, когда можно наблюдать и положительные и отрицательные частоты, известен, как двустороннее преобразование.