Нечетное число выборок

Предположим, что N – нечетно. Пусть p = (N – 1)/2. Следующая таблица показывает частоту, соответствующую каждому элементу комплексной результирующей последовательности X.

Элемент массива	Соответствующая частота
X[0]	постоянная составляющая
X[1]	Δf
X[2]	2Δf
X[3]	3Δf
. . .	. . .
X[p–1]	(p–1)Δf
X[p]	pΔf
X[p+1]	–pΔf
X[p+2]	–(p–1)Δf
. . .	. . .
X[N–3]	– 3Δf
X[N–2]	– 2Δf
X[N–1]	– Δf

Когда N – нечетное, N/2 – не целое. Следовательно, на частоте Найквиста не будет компоненты.

Если N = 7, p = (N–1)/2 = (7–1)/2 = 3, тогда мы получим

X[0]DC

X[1] Δf

X[2]2Δf

X[3]3Δf

X[4]–3Δf

X[5]–2Δf

X[6]– Δf

X[1] и X[6], X[2] и X[5], X[3] и X[4] имеют попарно одинаковые амплитуды. Однако если X[1], X[2] и X[3] соответствуют положительным частотам, то X[4], X[5] и X[6] - отрицательным. Поскольку N – нечетное, то и нет компоненты на частоте Найквиста.

Следующий рисунок иллюстрирует предыдущую таблицу при N = 7.

Это также двухсторонне преобразование, поскольку вы можете видеть положительные и отрицательные частоты.

Быстрое преобразование Фурье

Прямое выполнение ДПФ в соответствии с уравнением 6-1 с N выборками данных требует примерно N² операций с комплексными числами, поэтому это процесс, отнимающий много времени. Однако когда размер последовательности равен некоторой степени 2

N = 2^m для m = 1, 2, 3, …

можно произвести вычисление ДПФ за, примерно, N log₂ (N) операций. Это делает вычисление ДПФ намного более быстрым. В литературе по ДПФ такие алгоритмы называют быстрыми преобразованиями Фурье (БПФ). БПФ – быстрый алгоритм вычисления ДПФ, когда число выборок (N) является степенью 2.

Преимущества БПФ заключаются в скорости и эффективности использования памяти, поскольку ВП совершает преобразование сразу же. Размер входной последовательности должен быть равен числу 2 в какой-либо степени. ДПФ может эффективно обрабатывать последовательность любого размера, но ДПФ медленнее БПФ и использует больше памяти, поскольку во время обработки сохраняет промежуточные результаты.

Дополнение нулями

Как сделать, чтобы сделать размер входной последовательности был равным числу 2 в некоторой степени. Для этого используется техника, заключающаяся в добавлении нулей в конце этой последовательности, так чтобы полное количество выборок было равно числу 2 в более высокой степени. Например, у вас есть 10 выборок сигнала. Тогда вы можете добавить шесть нулей, чтобы полное число выборок равнялось 16 (= 2⁴, степень двух). Следующий рисунок иллюстрирует эту идею.

Дополнение нулями выполняет не только ту функцию, что делает полное число выборок степенью 2, ускоряя вычисления с использованием БПФ, оно также помогает увеличить разрешение по частоте (вспомните, что f = f_s/N), увеличивая число выборок N.