6. Линейные операторы с простым спектром.

Определение 1. Пусть dim V = n. Если линейный оператор A векторного пространства V имеет n попарно различных собственных значений, то он называется линейным оператором с простым спектром.

Теорема 1. Линейный оператор A n - мерного векторного пространства является линейным оператором с простым спектром тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение линейного оператора имеет n попарно различных корней, принадлежащих полю P. 

Теорема 2. Линейный оператор A имеет в базисе v₁, v₂, ..., v_n диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все вектора базиса являются собственными векторами линейного оператора A.

Доказательство. Необходимость. Пусть линейный оператор A имеет в базисе v₁, v₂, ..., v_n диагональную матрицу

. (1)

Тогда по определению матрицы линейного оператора имеем

Av₁ = ₁v₁ + 0v₂ + ... + 0v_n = ₁v₁, Av₂ = 0v₁ + ₂v₂ + ... + 0v_n = ₂v₂, …, Av_n = 0v₁ + 0v₂ + ... + _nv_n = _nv_n,

и тогда по определению вектора v₁, v₂, ..., v_n являются собственными векторами линейного оператора A.

Достаточность. Пусть вектора базиса v₁, v₂, ..., v_n являются собственными векторами линейного оператора A, принадлежащими к собственным значениям ₁, ₂, ..., _n. Тогда для них выполняются равенства (1) и матрица линейного оператора A в этом базисе диагональная. 

Теорема 3. Если вектора b₁, b₂, ..., b_k принадлежат к попарно различным собственным значениям линейного оператора A, то они образуют линейно независимую систему.

Доказательство. Доказательство теоремы проводим методом математической индукции по k . При k = 1 утверждение теоремы справедливо, так как собственный вектор b₁  0 и образует линейно независимую систему.

Предположим, что утверждение теоремы верно для k  1 векторов и докажем его для k векторов. По условию

Ab_i = _ib_i; i = 1, 2, ..., k, (2)

где _i  _j ; i, j = 1, 2, ..., k, i  j. Пусть выполняется равенство:

₁b₁ + ₂b₂ + ...+ _kb_k = 0, (3)

где ₁, ₂, ..., _k  Р. Покажем, что все ₁, ₂, ..., _k равны нулю. Действительно, если _k = 0, то из (9) имеем ₁b₁ + ₂b₂ + ...+ _k-1 b_k-1 = 0 и в силу линейной независимости векторов b₁, b₂, ..., b_k-1(индуктивное предположение) все числа ₁, ₂, ..., _k-1 равны нулю. Пусть _k  0. Применяем к обеим частям равенства (3) линейный оператор A, используя свойства линейного оператора и равенства (2) получаем:

₁Ab₁ + ₂Ab₂ + ...+ _k Ab_k = 0, ₁₁b₁ + ₂₂b₂ + ...+ _k_kb_k = 0.

Умножая равенство (3) на _k и вычитая почленно из последнего равенства, находим:

₁(₁_k)b₁ + ₂(₂_k)b₂ + ...+ _k-1(_k-1_k)b_k1 = 0.

Так как система векторов b₁, b₂, ..., b_k-1 линейно независима, то все числа _i(_i_k), i = 1,2, ...,k-1, равны нулю. Так как по условию _i _k, то _i _k0 и _i = 0, i = 1,2, ...,k-1, Тогда из (3) имеем _kb_k = 0, _k = 0 и получаем противоречие. 

Теорема 4. Линейный оператор A с простым спектром имеет в некотором базисе диагональную матрицу.

Доказательство. Пусть A - линейный оператор с простым спектром, т.е. он имеет n попарно различных характеристических корней , где n= dim V . По теореме 2 A имеет n попарно различных собственных значений ₁, ₂, ..., _n , к которым принадлежат собственные вектора b₁, b₂, ..., b_n . По теореме 3 система векторов b₁, b₂, ..., b_n линейно независима, и образует базис V . Тогда по теореме 2 матрица линейного оператора A в этом базисе диагональная. Теорема доказана.

Следствие. Любая матрица А порядка n с элементами из поля Р, характеристический многочлен которой имеет n попарно различных корней из Р, подобна диагональной матрице.