220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В. Лекции 12. Евклидовы пространства. План

1. Скалярное произведение в векторных пространствах. Определение, простейшие свойства и примеры евклидова пространства.

2. Неравенство Коши - Буняковского. Норма вектора и ее свойства.

3. Матрица Грама скалярного произведения и ее свойства.

4. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Ортогональный и ортонормированный базис.

5. Ортогональное дополнение.

Рекомендуемая литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3. Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4. Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.

5. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

6. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

1. Скалярное произведение в векторных пространствах. Определение, простейшие свойства и примеры евклидова пространства. Пусть V векторное пространство над полем действительных чисел R

Определение 1. Отображение множества VV в R, которое каждой упорядоченной паре (a, b) векторов a, b из V ставит в соответствие единственное число из R, обозначаемое (a, b) или ab,называется скалярным произведение, если оно обладает свойствами:

1. ( aV) aa  0; aa = 0  a = 0;

2. ( a, b V) ab =ba;

3. ( a, b, c V) a(b + c) = ab + ac;

4. ( a, b V) ( R) (a)b =(ab).

Определение 2. Евклидовым пространством называется векторное пространство над полем R, на котором определено скалярное произведение векторов. Обозначаем n - мерное евклидово пространство символом E_n.

Свойство 1. 0a = 0.

Доказательство. По свойству векторного пространства 0b = 0 для любого b V . Отсюда по определению 1 и свойствам поля получим:

а0 = а(0b)= (0b)а = 0(bа) = 0.

Свойство 2. (-a)b = -ab.

Доказательство. По свойству векторного пространства (-1)a = -a для любого a V . Отсюда по определению 1 и свойствам поля получим:

(-a) b = ((-1)a)b= (-1)(аb) = -аb = 0.

Свойство 3. .

Доказательство. Действительно, по определению при k = 2 имеем:

(₁a₁ + ₂a₂)b = (₁a₁)b + (₂a₂)b = ₁(a₁b) + ₂(a₂b),

а в общем случае равенство доказывается методом математической индукции по k. 

Пример 1. Покажем, что в любом n-мерном векторном пространстве V можно ввести скалярное произведение. Пусть v₁ ,v₂ ,... v_n - базис V и произвольные векторы a, b V разложены по базису.

a = ₁v₁ + ₂v₂ +...+ _nv_n , b = ₁v₁ + ₂v₂ +...+ _nv_n.

Определим скалярное произведение по формуле:

аb = ₁₁ + ₂₂ + ... + _k_k .

Тогда аb  Р и определено однозначно. Условие 1 следует из коммутативности умножения чисел в поле Р. Проверяя условие 2 рассмотрим еще вектор с = ₁v₁ + ₂v₂ +...+ _nv_n. Тогда

a + b = (₁ + ₁)v₁ + (₂ + _n)v₂ + ...+ (_n + _n)v_n.

(a + b)c = (₁ + ₁)₁ +(₂ + ₂)₂ + ...+ (_k + _k)_k =

= (₁₁ +₂₂ + ...+ _k_k) + (₁₁ +₂₂ + ...+ _k_k) = аb + ac .

Условие 3 проверяется аналогично.

Пример 2. Пространство геометрических векторов R₃ является евклидовым пространством, если в нем скалярное произведение векторов определено по формуле: , где - длины векторов , - угол между этими векторами. Проверка условий в определениях 1 , 4 производилась в курсе аналитической геометрии.

Пример 3. Арифметическое n-мерном Rⁿ над полем R является евклидовым, если в нем определить скалярное произведение по формуле:

аb = ₁₁ + ₂₂ + ... + _k_k ,

где a = (₁, ₂, ..., _n), b = (₁, ₂, ..., _n)  Rⁿ. Проверку условий в определениях 1 , 4 произведите самостоятельно.

Пример 4. Любое n-мерном векторном пространстве V над полем R является евклидовым, если в нем определить скалярное произведение по формуле:

аb = ₁₁ + ₂₂ + ... + _k_k ,

где a = ₁v₁ + ₂v₂ +...+ _nv_n , b = ₁v₁ + ₂v₂ +...+ _nv_n разложения векторов a, b V по некоторому базису v₁ ,v₂ ,... v_n пространства V . Так как ранее (пример 1) было доказано, что это скалярное произведение, то осталось проверить, что aa > 0 для любого a  V, a  0. Действительно, если a  0, то хотя одна из координат ₁, ₂, ..., _n вектора a неравна нулю и aa = ₁² + + ₂² +...+ _n² > 0.

Пример 5. Пространство С[a,b] непрерывных на отрезке [a,b] фуекций явлется евклидовым пространство, если вввести на нем скалярное произведение по формуле:

. (6)

Так как определенный интеграл от непрерывных функций существует, определен однозначно и принадлежит R, то проверим условия в определениях 1 и 5 используя свойства опрераций над функциями и свойства определенного интеграла.

1 = .

2 .

3 .

4 и если f  0, то f  f > 0.