220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В.

Лекции 17. Поверхности и кривые второго порядка

План

Поверхности второго порядка в пространстве R³
Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности.
Конические поверхности.
Эллипсоиды.
Однополостные гиперболоиды и его прямолинейные образующие.
Эллиптические параболоиды.
Гиперболические параболоиды и его прямолинейные образующие.
Классификация кривых второго порядка.

Классификация поверхностей второго порядка.

11. Приведение кривой второго порядка и поверхности второго порядка к каноническому виду по методу собственных значений

Рекомендуемая литература

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.
Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.
Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.
Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

Поверхности второго порядка в пространстве r3

Поверхностью второго порядка в пространстве R³называется поверхность , определяемая в системе координат Ox₁x₂x₃ уравнением вида:

. (1)

где a_ij = a_ji, A_i; i, j = 1,2,…,n i, j = 1,2,…,n, B - заданные постоянные числа, коэффициенты при старших членах не все равны нулю. Старшие члены образуют квадратичную форму

f(x₁, x₂, x₃) = ,

называемую квадратичной формой поверхности.

Сначала изучим частные виды поверхностей второго порядка, а затем рассмотрим преобразование общей поверхности к частным случаям.

2. Поверхности вращения.

Определение 1. Пусть в пространстве дана прямая a и линия l, которая не лежит в плоскости, перпендикулярной прямой a. Поверхность , которая получается вращением линии l относительно прямой a, называется поверхностью вращения. Линия l называется образующей поверхности вращения, прямые называется осью вращения.

Поверхность вращения состоит из окружностей, которые получаются вращением точек линии l относительно прямой a, и которые лежат в плоскостях перпендикулярных прямой a, с центрами на прямой a.

Пусть образующая l поверхности вращения  лежит координатной плоскости Oyz, и задана уравнением

f(y,z) = 0, x = 0; (1)

равнение поверхности вращения линии l относительно оси Oz:

. (3.2)

Пример 1. Поверхности вращения эллипса относительно оси Oz:

. (3.3)

Полученная поверхность называется эллипсоидом вращения и изображена на рис. 2.

3. Цилиндрические поверхности.

Определение 1. Пусть в пространстве дана линия l и вектор s. Цилиндрической поверхностью  с направляющей l и образующими параллельными s называется множество всех точек прямых параллельных вектору s и пересекающих кривую l. Линия l называется направляющей цилиндрической поверхности , прямые, из которых состоит цилиндрическая поверхность, называются образующими цилиндрической поверхности .