220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В. Лекции 14. Линейные операторы. План

Определение линейного оператора и его свойства. Матрица линейного оператора.

1. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.

2. Операции над линейными операторами.

3. Характеристическое уравнение линейного оператора.

4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, и их связь с корнями характеристического уравнения.

5. Линейные операторы с простым спектром.

Рекомендуемая литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3. Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4. Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.

5. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

6. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

Линейные операторы

1. Определение линейного оператора и его свойства. Матрица линейного оператора. Пусть V - векторное пространство над полем P.

Определение 1. Линейным оператором A в векторном пространстве V называется отображение A векторного пространства V в V обладающее свойствам:

1. ( a, b  L) A(a + b) = Aa + Ab;

2. ( a  L) (   R) A(a) =( Aa).

Свойство 1. Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор: A0 = 0.

Свойство 2. Линейный оператор переводит противоположный вектор в соответствующий противоположный вектор: A(-a) =- Aa.

Свойство 3. Линейный оператор переводит линейную комбинацию векторов в соответствующую линейную комбинацию образов этих векторов: A(₁a₁ + ₂a₂ + …+_ka_k ) = ₁ Aa₁ + ₂ Aa₂ + …+_k Aa_k.

Свойство 4. Линейный оператор переводит линейно-зависимую систему векторов в линейно-зависимую систему векторов.

Матрица линейного оператора. Пусть v =(v₁, v₂, …, v_n) - базис векторного пространства V, A - линейный оператор в векторном пространстве V. Разложим образы Av₁, Av₂, …, Av_k векторов базиса по векторам того же базиса:

Av₁ = a₁₁ u₁ + a₂₁ u₂ + ... + a_m1 u_m , Av₂ = a₁₂ u₁ + a₂₂ u₂ + ... + a_m2 u_m ,. . ., Av_n = a_1n u₁ + a_2n u₂ + ... + a_mn u_m .

Определение 2. Матрицей линейного оператора A в данном базисе называется матрица

А = ,

столбцы которой есть координатные строки образов базисных векторов векторного пространства V, выраженные через тот же базис.

Лемма 1. Пусть v₁, v₂, ..., v_n базис векторного пространства V, a₁, a₂, ..., a_n - произвольная система векторов из U. Тогда существует линейный оператор A векторного пространства V, при котором Av₁ = a₁, Av₂ = a₂, ..., Av_n = a_n.

Теорема 1. Пусть V - векторное пространство над полем Р размерности n. При выбранном базисе существует взаимно-однозначное соответствие между множеством линейных операторов V множеством М_n(P) матриц порядка n с элементами из поля Р.

Пусть а = v(x_, x_, ..., x_n) ^t . Тогда Aa = vA_ (x_, x_, ..., x_n) ^t . Отсюда получаем следующие формулы преобразования координат:

,

где Aa = v (x_, x_, ..., x_n) координатный столбец вектора Aa в данном базисе.