4. Конические поверхности.

Определение 1. Пусть в пространстве дана линия l и точка S. Конической поверхностью  с направляющей l и вершиной S называется множество всех точек прямых проходящих через точку S и пересекающих кривую l. Линия l называется направляющей конической поверхности , прямые, из которых состоит коническая поверхность, называются образующими конической поверхности .

Пусть направляющая l конической поверхности  лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости Oxy, и задана уравнением

f(x,y) = 0, z = h; (1)

S(x₀,y_0, z₀) - вершина конической поверхности, система координат аффинная.

Уравнение конической поверхности

x

. (6)

Уравнение конической поверхности, направляющая которой задается уравнениями:

f(x,y) = 0 , z = h,

а вершина которой находится в начале координат S(0,0_,0). Тогда по формуле (6) находим уравнение конической:

. (7)

Пример 1. Уравнение конуса, направляющая которого является эллипсом:

, z = с,

имеет вид

. (8)

5. Эллипсоиды

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

, (9)

называется эллипсоидом, a > 0, b > 0, c > 0. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида.

Исследуем поверхность эллипсоида по уравнению (9). Так как все переменные входят в уравнение (9) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) эллипсоиду принадлежат все восемь точек (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, эллипсоид симметричен относительно, всех трех координатных плоскостей и начала координат. Эллипсоид пересекает координатные оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c), которые называются вершинами эллипсоида.

Из уравнения эллипсоида находим, . Отсюда следует, что эллипсоид ограниченная поверхность: -a  x  a, -b  y  b, -c  z  c.

Исследуем методом сечений поверхность эллипсоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Например, пересекая эллипсоид плоскостями z = h (-c  h  c), параллельными плоскости Oxy. При -c < h < c получим в сечении эллипсы

,

с полуосями .

Эллипсы, лежащие в сечениях, наибольшие полуоси имеют при h = 0. При h = с в сечении получается точка. Аналогичная картина будет при сечении эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям Oxz и Oyz.

Если, какие-нибудь две из полуосей a, b, c эллипсоида равны друг другу, то он является эллипсоидом вращения. Если a = b = c, то эллипсоид является сферой x² + y² = a².

6. Однополостные гиперболоиды и его прямолинейные образующие.

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

, (10)

называется однополостным гиперболоидом, a > 0, b > 0, c > 0. Числа a, b, c называются полуосями однополостным гиперболоидом.

Исследуем поверхность однополостного гиперболоида по уравнению (10). Так как все переменные входят в уравнение (10) в четной степени, то вместе с точкой (x, y, z) однополостному гиперболоиду принадлежат все восемь точек (x, y, z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, однополостной гиперболоид симметричен относительно, всех трех координатных плоскостей и начала координат. Он пересекает координатные оси Ox, Oy соответственно в точках (a, 0, 0), (0, b, 0), которые называются вершинами однополостного гиперболоида.

Исследуем методом сечений поверхность однополостного гиперболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая однополостный гиперболоид плоскостями z = h (- < h < +), параллельными плоскости Oxy, получим в сечении эллипсы.

Эллипсы, лежащие в сечениях, наименьшие полуоси имеют при h = 0. Это сечение называется горловиной однополостного гиперболоида.

Пересекаем однополостный гиперболоид плоскостями x = h (- < h < +), параллельными плоскостям Oyz и Oxz Получим в сечении гиперболы. стями, параллельными плоскости Oxz.

Уравнение однополостного гиперболоида (1) можно записать в виде

. (12)

Составим две системы уравнений первой степени

, (13)

где m и n произвольные действительные параметры, которые одновременно не равны нулю.

Для любых m и n одновременно не равных нулю каждая из систем (13) определяет прямую и эти прямые пересекаются (проверить это). Если мы перемножим уравнения в каждой из систем (13) почленно и сократим, полученное равенство, на mn, то получим уравнение (12). Поэтому любая точка (x, y, z) , принадлежащая прямым (13), находится на поверхности (12).

Прямые, принадлежащие каждому из двух семейств прямых, определяемых системами (13) называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида (см рис. 10). При нахождении прямолинейных образующих можно один из двух параметров m или n в системах (13) полагать равным единице.