4. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Ортогональный и ортонормированный базис.

Определение 1. Два вектора a и b из E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение 2. Система ненулевых векторов b₁, b₂, ..., b_m называется ортогональной системой векторов, если различные векторы этой системы попарно ортогональны: b_ib_j = 0 (i, j = 1, 2,…, m; i  j).

Теорема 1. Ортогональная система векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть a₁, a₂ , ..., a_k - ортогональная система ненулевых векторов из V. Доказывая линейную независимость системы a₁, a₂ , ..., a_k допустим, что выполняется равенство:

₁a₁+ ₂a₂ +...+ _ka_k = 0.

Скалярно умножим обе части этого равенства на a_i , i = 1, 2, ...,k, получим в силу свойств 1, 2

₁(a₁a_i) + ₂(a₂a_i) +...+ _i(a_ia_i) + ... + _k(a_ka_i) = 0.

В силу ортогональности системы отсюда находим _i(a_ia_i) = 0 . Так как a_i  0 и скалярное произведение невырожденное, то a_ia_i  0. Таким образом

_i = 0 для всех i = 1, 2, ...,k. Таким образом система векторов a₁, a₂ , ..., a_k линейно независима. 

Теорема 2. Для любой линейно независимой системы векторов a₁, a₂, ..., a_m существует ортогональная система векторов b₁, b₂, ..., b_m таких, что каждый вектор b_j (j = 1, 2,…, m) линейная комбинация векторов b_j (j = 1, 2,…, j).

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по k. При k =1 вторая система состоит из одного вектора b₁  0 и поэтому ортогональна. Предположим, что теорема справедлива для k1 векторов a₁, a₂ , ..., a_k-1, т.е. и поэтим векторам найдена ортогональная система ненулевых векторов b₁, b₂ , ..., b_k-1 с указанными выше свойствами. Докажем утверждение для k векторов. Для этого ищем вектор b_k в виде:

b_k = ₁b₁ + ₂b₂ +...+ _k-1b_k-1  a_k , (2)

где значения коэффициентов ₁ , ₂ ,... , _k-1 находим из условия ортогональности b_k векторам b₁, b₂ , ..., b_k-1:

b_kb_i = 0 , i = 1, 2, ...,k -1,

которое можно записать в виде

₁(b₁b_i) + ₂(b₂b_i) +...+ _i(b_ib_i) +...+ _k-1(b_k-1b_i) + a_kb_i = 0.

Так как по предположению b_jb_i = 0 при всех i = 1, 2, ...,k -1, i  j, то находим

_i(b_ib_i) + a_kb_i = 0.

Так как b_i  0, то b_i b_i  0 и

_i = (a_kb_i )/(b_ib_i), i = 1, 2, ...,k -1. (3)

При таком выборе коэффициентов _i вектор b_k ортогонален векторам b₁, b₂ , ..., b_k-1 и полученная ситема векторов b₁, b₂ , ..., b_k ортогональна.

Выразим вектор b_k через вектора a₁, a₂ , ..., a_k:

b_k = ₁a₁ + ₂(₂₁b₁ + a₂) + ₃(₃₁a₁ + ₃₂a₂ + a₃) + ... +_k-1(_k-11a₁ + _k-12a₂ +...+ _k-1k-2a_k-2  a_k-1) a_k =

= (₁+ ₂₂₁ + ₃₃₁ + ... +_k-1_k-11)a₁ + (₂ + ₃₃₂ + ... + _k-1_k-12 )a₂ +...+ (_k-2  _k-1_k-1k-2)a_k-2  _k-1a_k-1 a_k =

= _k1a₁ + _k2a₂ +...+ _kk-1a_k-1  a_k,

где _k1 , _k2 , ..., _kk-1  Р. Вектор b_k  0. Действительно, если b_k = 0, то

_k1a₁ + _k2a₂ +...+ _kk-1a_k-1  a_k = 0 .

Отсюда следует, что система a₁, a₂ , ..., a_k линейно зависима, а это противоречит условию.

Определение 3. Базис пространства E_n называется ортогональным, если он образует ортогональную систему векторов.

Определение 4. Ортогональный базис e₁, e₂, ..., e_n называется ортонормированным, если все его векторы единичную длину.

Теорема 4. Любое n-мерное евклидово пространство обладает ортогональным базисом.

Теорема 5. Любое n-мерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.

Теорема 6. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений соответствующих координат

Определение 7. Вектор a евклидова пространства называется нормированным, если его длина равна единице, т.е. a =1.

Определение 8. Ортогональный базис евклидова пространства E_n называется ортонормированным, если все вектора базиса нормированные, т.е. базис е₁, e₂, ..., е_n ортонормированный, если выполняются условия:

1 е_ie_j = 0, i, j = 1, 2, ...,n, i  j;

2 е_ie_i = 1, i = 1, 2, ...,n.

Теорема 7. Любое конечномерное евклидово пространство Е_n обладает ортонормированным базисом.

Доказательство. Скалярное произведение в евклидовом пространстве невырожденное. Поэтому по следствю теоремы 2 Е_n обладает ортогональным базисом b₁, b₂ , ..., b_n . Тогда легко показать, что система векторов

е₁ = , e₂ = , ..., е_n =

- линейно независима. Она образует ортонормированный базис Е_n. Действительно,

е_ie_j = ,

если i, j = 1, 2, ...,n, i  j;

е_ie_i = ,

i = 1, 2, ...,n. 

Пример 1. Ортогонализовать систему векторов a₁ = (1, 0, 0) , a₂ = =(1,1, 0), a₃ = (4, 2, 2) (скалярное произведение определено в примере 1). Пусть b₁ = (1, 0, 0).

По формуле (2) b₂ = ₁b₁ a₂, где коэффициент ₁ находим по формуле (3): ₁= (a₂b₁)/(b₁b₁) = (1)/1 = 1. Тогда b₂ = b₁ a₂= (0, 1, 0).

По формуле (2) b₃ = ₁b₁ + ₂b₂  a₃ , где коэффициенты ₁ , ₂ находим по формуле (3): ₁= (a₃b₁)/(b₁b₁) = 4/1 = 4. ₂= (a₃b₂)/(b₂b₂) = (2)/1 = = 2. Тогда b₂ = 4b₁ + 2b₂  a₃= (0, 0, 2).

и ищем v₂ = (1, 1, 0), v₃ = (4, 2, 2) линейно независима и образует базис пространства R³

Ортогональная система векторов a₁ = (1,0,0), a₂ = (0,1,0), a₃ = (0,0,2).

.5. Ортогональное дополнение.

Определение 1. Пусть L - подпространство евклидова пространства E. Ортогональным дополнением L называется множество L^ всех векторов из E ортогональных каждому вектору из L: L^ = { bE  для любого вектора a  L имеем b a = 0 }.

Теорема 1.. Для любого подпространства L из E ортогональное дополнение L^ есть подпространство из E.

Доказательство. По определению L^  E. Так как для любого вектора a  L имеем 0 a = 0, то 0  L^ и L^  .

Проверим условия, входящие в определение подпространства.

1. Пусть b, c  L^, тогда для любого a  L имеем (b + c) a = b a + c a = 0+ 0 = 0, и b + c  L^.

2. Пусть b  L^ , R, тогда для любого a  L имеем (b) a =(b a) = 0 = 0, и b  L^.

Отсюда по определению L^ - подпространство из E. 

Теорема 2. Для любого подпространства L из E L  L^ = {0}.

Доказать самостоятельно.

Теорема 3.. Если E - конечномерное евклидово пространство, то E прямая сумма L и L^ : E = L  L^.

Доказательство. Если L = {0}, то L^ = E. Если L  {0}, то подпространство L имеет базис e₁, e₂,…, e_k, который в силу теоремы предыдущего параграфа, можно считать ортогональным. По теореме о базисах этот базис можно дополнить до базиса пространства E и полученный базис ортогонолизовать. Получим ортогональный базис e₁, e₂,…, e_k, e_{k + 1},…, e_n пространства E. Тогда любой вектор a  E представляется единственным образом в виде:

a = ₁e₁ + ₂e₂ +…+ _ke_k +  _{k + 1}e_{k + 1} +…+  _n e_n = b + c; b  L, c  L^.

Отсюда и теоремы 2 по определению прямой суммы следует, что E = L  L^. 

Следствие. Если E - конечномерное евклидово пространство, то dim E = dim L + dim L^.

Теорема 4. Пусть V - конечномерное векторное пространство с невырожденным скалярным призведением, L, L₁, L₂ - подпространства из V. Тогда справедливы следующие свойства:

1 (L^)^ = L;

2 если L₁  L₂ , то L₁^  L₂^;

3 (L₁ + L₂)^ = L₁^  L₂^;

4 (L₁  L₂)^ = L₁^ + L₂^.

Доказательство. 1 Eсли a  L , то ab =0 для любого b  L^. Поэтому a  L^ и L  (L^)^. Докажем, что (L^)^  L и тогда получим (L^)^ = L.

Пусть a  (L^)^ . Так как (L^)^  V и по теореме 4 V = L  L^, то a = b + b , где b  L , b  L^ . Поэтому bb = 0. Так как a  (L^)^ , то ab = 0. Отсюда bb = (a  b)b = ab  ab = 0 + 0 = 0. В силу невырожденности скалярного произведения b = 0 и a = b  L . Свойство доказано.

Свойства 2 - 4 рекомендуется доказать читателю самостоятельно.