7. Влияние кривизны Земли на горизонтальные и вертикальные расстояния

Предположим, что на поверхности Земли измерена дуга АВ, равная l. Длину касательной АС обозначим через d. Определим разность между длиной касательной и длиной кривой , которая и покажет влияние кривизны Земли на определение горизонтальных расстояний,

∆d = d – l … , где d = R tgα.

Так как угол α величина малая, то можно пользоваться приближенной формулой

tgα = α + α³/3 + …, где значение α выражено в радианах, тогда можно записать

d = R (l/R + l³/(3R³)) или d = l + l³/(3R²) подставив это выражение в первую формулу , получим

∆ d = l³/(3R²)

Разность между длиной касательной и кривой:

l, км ………………………10 25 50

∆d, см …………………….0,82 12,80 103,00

Относительная ошибка…..1: 1 200 000 1:200 000 1:50 000

Очевидно, что влияние кривизны Земли на определение горизонтальных расстояний при

l=10 км составляет 1: 1 200 000 ее длины, что допустимо при самых точных измерениях горизонтальных расстояний на земной поверхности.

Кривизна Земли оказывает значительное влияние на определение вертикальных расстояний. Отрезок СВ= k выражает это влияние.

k=d²/2R

При определении превышений между точками следует учитывать поправку на кривизну Земли, т.к.

d, м………100 200 300 10 000

k, мм……. 0,8 3,1 7,1 7850,0

8. Топографические планы и карты.

Картой называют уменьшенное изображение на плоскости горизонтальных проекций контуров и рельефа значительных участков земной поверхности на плоскости с учетом влияния кривизны Земли.

Планом называют уменьшенное и подобное изображение на плоскости горизонтальных проекций контуров и рельефа относительно небольших участков местности, в пределах которых пренебрегают влиянием кривизны Земли.

Планы, на которых изображены рельеф и ситуационные особенности местности называют топографическими.

Планы, на которых изображены только ситуационные особенности местности без рельефа называют ситуационными.

Степень уменьшения горизонтальных проекций линий местности при изображении их на карте или плане называют масштабом.

Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – степень уменьшения горизонтальных проекций линий местности. Так, численный масштаб 1:1000 показывает, что все горизонтальные проекции линий местности при переносе их на план уменьшены в 1000 раз, т.е. отрезок в 1 см на плане соответствует расстоянию на местности в 1000 см = 10 м.

При сравнении двух численных масштабов более крупным является тот из них, у которого знаменатель меньше.

Топографические карты бывают:

Крупномасштабные – 1:100 000 и крупнее;

Среднемасштабные – от 1:200 000 до 1: 1000 000;

Мелкомасштабные – мельче 1: 1000 000.

Линейный масштаб – это графический масштаб в виде масштабной линейки, разделенной на равные части с подписанными значениями соответствующих расстояний на местности. На рис. Масштабная линейка имеет основание, равное 2 см. Отрезок слева от нуля разделен на более мелкие части, доли которых оценивают на глаз. Горизонтальная проекция длины АВ на карте масштаба 1:10 000, измеренная с помощью линейного масштаба и измерителя, складывается из четырех оснований справа от нуля, каждое из которых соответствует отрезку 200 м на местности, семи малых делений слева, каждое соответствует 10 м на местности и отрезка, оцениваемого на глаз: АВ= 4*200 м + 7*10 м + 5 м= 875 м.

Поперечный масштаб – это графический масштаб в виде номограммы, построение которой основано на пропорциональности отрезков параллельных прямых, пересекающих стороны угла. На горизонтальной линии поперечного масштаба отложены одинаковые отрезки по 2 см (основания масштаба). Параллельно нижней линии проведены еще 10 линий с одинаковым интервалом друг от друга, а из концов каждого основания восстановлены перпендикуляры. Первые основания на нижней и верхней линиях разделены на 10 частей по 2 мм и концы малых делений соединены наклонными линиями так, что начало каждого малого деления нижней линии соединяется с концом того же деления верхней. Так для масштаба 1:5000 основание поперечного масштаба равно 100 м, малое деление 10 м, а расстояние между наклонной линией и вертикалью, соответственно, 1, 2, 3,…, 9, 10 м. Тогда расстояние АВ, измеренное на плане составит АВ=284,5 м.

Точностью масштаба карты или плана называют отрезок на местности, соответствующий 0,1 мм в масштабе данной карты или плана. Минимальный отрезок – соответствует диаметру укола иглы ножки измерителя и он составляет 0,1 мм. Поэтому точность плана масштаба 1:1000 равна 0,1 м, а карты масштаба 1:25 000 – 2,5 м.

Электронные версии карт ЭК и ЦММ представляют в памяти ЭВМ всегда в масштабе 1:1.