Лекція з теоретичної фізики
Розділ: Вибрані задачі класичної механіки
Спеціальність 6.010100 Педагогіка і методика середньої освіти. Фізика.
Тема: Задача двох тіл та рух частинки у центрально-симетричному полі
План:
Задача двох тіл.
Рух частинки у центральному полі.
Закони Кеплера.
Космічні швидкості.
Література:
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. Пособие. –В 10-ти т. Т.1. Механика. – М.: Наука, 1988, §§11–15.
И.В. Савельев. Основы теоретической физики, т. 1. – М.: Наука, 1975, §§11–12.
А.М. Федорченко. Класична механіка і електродинаміка. – К.: Вища школа, 1992, §§11–12.
В.В. Мултановский. Курс теоретической физики: Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика: учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1988, §27
Н.И. Жирнов Классическая механика: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1980, §§13,14,17–19
Задача двох тіл
Задача про рух двох частинок, що взаємодіють між собою, зводиться до задачі одного тіла і розв’язується повністю.
Вона може бути зведена до двох задач (одночастинних): задачі про рух центру мас; рух точки зведеної маси відносно центру мас.
Нехай, ми маємо систему з двох частинок масами і .
Між ними діють сили взаємодії, а зовнішні сили відсутні. Тоді, рівняння, що описують рух цих частинок окремо матимуть вигляд:
(1)
Оберемо нову систему відліку – систему із початком у центрі мас цих двох частинок.
(2)
Ця система рухається із постійною швидкістю. Коли центр (початок координат) нової системи співпадає із точкою , то , тоді і – радіус-вектори і відносно , тоді маємо, що
. (3)
Значить, якщо знайти , тоді – обчислити легко.
Введемо ще одну величину – відносну координату: ,
тоді, помножуючи праву і ліву частину цього рівняння на отримаємо:
(4)
Враховуючи рівняння (3) матимемо:
і підставимо в (4):
,
тоді матимемо, що:
;
.
Тоді для швидкостей:
; (5)
А рівняння руху (1) набудуть вигляду:
Позначимо за й назвемо цю величину зведеною масою
Тоді .
Аналогічно:
, або , тобто
.
Отже, рух двох точок розглядається як рух однієї із зведеною масою
Із координатою під дією силового центру в початку координат.
К оли вигляд силового поля відомий, то можна відшукати й , а потім:
, . а також
,
Таким чином, траєкторії руху заданих точок і , а також точки є подібні криві, відносно центру мас системи, причому . Відповідно можна відшукати й швидкості точок з рівнянь (5).
Отже таким чином задача розв’язана.
Рух частинки у центральному полі
Як відомо, центрально-симетричне поле – це поле, в якому потенціальна енергія є функцією лише від віддалі від нерухомого центра до рухомої матеріальної точки, т. т.
Коли ми маємо дві матеріальні точки, то як ми вже бачили у попередньому питанні, їх рух може бути описаний в Ц-системі (системі пов’язаної із центром мас системи) як рух точки зведеної маси, т.т. зводиться до руху однієї точки..
Як відомо, момент імпульсу матеріальної точки у центрально-симетричному полі є інтегралом руху, тобто зберігається за модулем і за напрямком, а якщо так і – лежать в одній площині перпендикулярній до , що не змінює свого положення в просторі або іншими словами: рух – плоский. Траєкторія такого руху – плоска крива, а ому така тачка має лише дві ступені вільності.
Т ому для опису руху точки у центрально-симетричному полі зручно використати полярну систему координат: полюс (сумістити із центром мас системи – ), радіус вектор (його довжина ( ), азимут – . Тобто площина співпадає з полярною системою координат ; .
Тоді у цій системі відліку момент імпульсу матеріальної точки має вигляд:
Отже, (1)
Повна енергія такої матеріальної точки:
, або ;
(2)
А тепер намітимо шлях розв’язання основної задачі механіки. Використовуючи отримані нами інтеграли руху (1) і (2) можна відшукати рівняння траєкторії матеріальної точки, а саме:
і
Оскільки , тому ; , значить
, (3)
де – відцентрова потенціальна енергія.
Таким чином, можна ввести поняття ефективної потенціальної енергії:
(4)
Ефективний потенціал (4) складається з двох доданків, кожний з яких є функціями лише координати і ефективний потенціал є функцією від , а тому отримане рівняння :
допускає розділення змінних:
;
;
(5)
Обчислити інтеграл (а це можна зробити врахувавши відповідні граничні умови) можна відшукати і .
Після цього:
; ; ;
Можна одержати рівняння руху і в загальному вигляді:
; ;
(6)
Це і є рівняння траєкторії .
Відзначимо особливості одержаних результатів.
З формули (6) випливає, що не змінюється, а тому – змінюється монотонно.
може перетворюватись в нуль в точках де відповідно до рівняння (3):
;
Ці точки називають точками повороту, в них змінюється , а переходить від зростання до спадання і навпаки.
Область допустимих значень визначається з умови:
Коли ця умова виконується тоді , причому і відмінні від і й рух частинки вважається фінітний, коли , то рух – інфінітний.