60

Введение

Предмет «Математические методы» предполагает поиск оптимальных решений для эффективного управления организационными системами. Большинство рассматриваемых математических методов реализовано в математических пакетах (Maple, MathCAD, MathLab, Mathematic). Освоение машинной математики создаёт иллюзию освоения самой математики. Следует понимать, что инструмент не заменяет компетентность. Никакие красочные меню не освобождают пользователя от понимания сути математических команд и методов, реализованных в компьютерных программах. Правильное использование математических пакетов требует необходимые математические знания.

Раздел I. Математические методы в исследовании операций.

1. Основные понятия.

Исследование операций представляет собой комплекс научных методов для решения задач эффективного управления организационными системами. Применение математических методов к поиску и обоснованию решений целенаправленной человеческой деятельности называется математическим моделированием.

Пусть предпринимается какое-то мероприятие для достижения определенной цели. У руководителя всегда имеется какая-то свобода выбора: как организовать мероприятие. Решение – это выбор варианта из ряда возможных. Не всегда для принятия решения следует привлекать математический аппарат. Оптимальные решения в некоторых ситуациях приходят в процессе жизненной практики. Но существуют мероприятия, когда предварительные расчеты помогают избежать поиска нужного решения на ощупь, или предотвращают серьезные отрицательные воздействия. Например, чтобы решить, по каким маршрутам направить транспорт, где возвести плотину на реке, как организовать снабжение предприятий сырьем.

Операция – управляемое мероприятие, объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели. Например, разработка плана снабжения предприятий сырьем, размещение товарных точек для продажи товара, планирование строительства.

Выбор параметров операции называется решением. Оптимальным решением будет являться то, которое по некоторым признакам предпочтительнее перед другими. Те параметры, которые образуют решение, называются элементами решения. Совокупность элементов решения будем обозначать одной буквой х. Например, при составлении плана перевозок, элементами решения являются числа, показывающие, сколько груза будет перевезено из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения. Те решения, которые удовлетворяют заданным условиям, образуют множество возможных решений. Множество решений обозначим Х. Тот факт, что решение х является допустимым, записывается в виде х€Х.

Чтобы сравнивать между собой различные допустимые решения, вводится количественный критерий, так называемый показатель эффективности (его часто называют «целевой функцией»). Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность операции. «Лучшим» будет считаться то решение, которое в максимальной степени способствует достижению поставленной цели, т.е. оптимизирует целевую функцию (обращает в минимум или максимум). Например, при разработке плана снабжения показателем эффективности могут быть суммарные расходы на перевозки сырья за единицу времени (→ min), а для продажи товаров – средняя ожидаемая прибыль (→ max). Иногда выбрать критерий эффективности очень трудно. Например, критерием эффективности работы городского транспорта может быть и среднее число перевезенных пассажиров, и средняя скорость передвижения транспорта, и средний путь, который придется пройти пассажирам до остановки.

ПРИМЕР 1.1. Определить операции управления, элементы решения и критерий эффективности для улучшения работы столовой.

Операция	Элементы решения	Показатель эффективности
План закупки продуктов	Количество продуктов каждого вида	Стоимость Калорийность
Установления графика работы	Время работы столовой	Количество посетителей Прибыль
Составление меню	Количество каждого блюда	Прибыль Калорийность

ПРИМЕР 1.2. Определить операции управления, элементы решения и критерий эффективности для повышения качества знаний по информатике.

Операция	Элементы решения	Показатель эффективности
План обеспечения компьютерами	Количество единиц каждого вида техники для каждого кабинета	Стоимость Количество студентов, работающих на ЭВМ Средний балл студента
Составление расписания	Расписание занятий	Суммарные «окна» преподавателей Простои кабинетов Среднее количество часов на студента Средний балл студента
Составление штатного расписания обслуживания ЭВМ	Количество специалистов каждого профиля	Суммарная зарплата специалистам Количество работающих ЭВМ Средний балл студента
Составления штатного расписания преподавателей	Количество часов по каждому предмету каждого преподавателя	Суммарная зарплата преподавателям Средний рейтинг преподавателя Средний балл студента

Задание 1.1. Определить операции, элементы решения и показатели эффективности для улучшения работы городского транспорта.

Определив элементы решения и условия, наложенные на них, выбрав показатель эффективности, можно перейти к математической модели задачи. В модель войдут математические зависимости между элементами решения, известные ограничения и целевая функция.

Задачи исследования операций делятся на две категории: прямые и обратные. Прямые задачи отвечают на вопрос: что будет, если в заданных условиях мы примем какое-то решение?

ДАНО: х–допустимое решение; α – условия; W(х, α) – показатель эффективности

НАЙТИ: W^* – значение показателя эффективности.

СВЯЗЬ: W^* =W(х, α).

Обратные задачи отвечают на вопрос: как выбрать решение, чтобы оптимизировать показатель эффективности? При заданном комплексе условий α найти такое решение х, которое обращает показатель эффективности в максимум (минимум)

ДАНО: α – условия; Х – множество допустимых решений; W(х,α) – показатель эффективности.

НАЙТИ: х^*– оптимальное решение; W^* – оптимальное значение показателя эффективности.

СВЯЗЬ:

Например, рассчитать затраты на перевозки сырья в определенном количестве в заданных направлениях – прямая задача; а выбрать такой план перевозок, чтобы затраты были минимальны – обратная задача.