Тема 3. Прогнозування на основі згладжування часових рядів.

3.3.1. Методичні поради до вивчення теми

З даної теми передбачається вивчення таких питань:

- наївні методи прогнозування;

• прогнозування тенденції часового ряду за середніми характеристиками;

• метод простої ковзної середньої;

• метод простого експоненціального згладжування;

• адаптивні методи прогнозування.

Для самостійного вивчення цієї теми рекомендується література: [1,2].

Вивчення теми надасть студентам можливість ознайомитися із сутністю та різновидами методів згладжування часових рядів, використанням їх для прогнозування, практичною реалізацією прогнозних розрахунків із використанням комп’ютерних пакетів програмного забезпечення. Найбільш відомими методами згладжування часових рядів є наївні методи, метод ковзної середньої, експоненціального згладжування, метод Хольта, метод Вінтерса.

Наївні методи. У випадку незначної кількості даних більшість методик прогнозування не підходить, оскільки потребує досить великих масивів даних, і можливим рішенням є використання „наївного прогнозу”. Найпростіша модель припускає, що останній період часу краще передбачає майбутнє.

, або

де - це прогноз, зроблений в момент часу t (початкове значення прогнозу) на момент t+1. Недоліком цього наближення є неврахування подій минулих періодів, а також будь-якого тренду. Окрім того, випадкові збурення відслідковуються дуже явно, як ні в якій іншій моделі.

Методику наївних моделей можна також пристосувати до врахування можливого тренду, наприклад

= .

У випадку завдання швидкості зміни рівнів ряду замість абсолютної величини їх зміни модель матиме вид

= .

Для сезонних коливань моделі можна надати вид

= , де т – період сезонних коливань.

Можна скомбінувати трендову й сезонну модель

= + .

Тут перша складова відповідає за сезонні коливання, а друга враховує тренд, який з’явився за останні т спостережень.

Прогнозування тенденції часового ряду за середніми характеристиками - найпростіший спосіб прогнозування, який визначає прогнозну оцінку від фактично досягнутого рівня за допомогою середнього рівня, середнього приросту, середнього темпу зростання.

Екстраполяція на основі середнього рівня ряду годиться у тих випадках, коли процеси, які генерують часові ряди, стабілізувались, а оточення, в якому існують ці ряди, не змінюється. У методі „простого середнього” для складення прогнозу на наступний період використовується середнє значення усіх минулих спостережень, тобто точковий прогноз , зроблений в момент часу на період випередження 1, розраховується за формулою:

.

Як тільки нове спостереження стає доступним, для прогнозування на наступний період у розрахунок середнього слід внести й це спостереження. Збереження даних за великий період часу й для багатьох рядів стає великою проблемою, якої можна запобігти, якщо для оновлення простого середнього на наступний період використати наступне рівняння.

.

Інтервал надійності для прогнозу середнього при невеликій кількості спостережень п визначається як

,

де - критичне значення - критерію Стьюдента із ступенями вільності і рівнем значущості ; - середня квадратична похибка середнього ( , де s - середньоквадратичне відхилення спостережень).

Одержаний інтервал надійності враховує невизначеність, яка криється в оцінці середньої величини. Однак залишається припущення, що прогнозований показник дорівнює середньому вибірковому значенню, тобто при такому підході не враховується те, що окремі значення показника коливалися навкруги середнього в минулому і це також буде відбуватися в майбутньому. Отже загальна дисперсія включає коливання вибіркової середньої й коливання індивідуальних значень навкруги середнього і складає величину , а інтервал надійності для прогнозованої оцінки ряду дорівнює:

,

Екстраполяція за середнім абсолютним приростом може бути виконана у тому разі, коли загальна тенденція розвитку вважається лінійною. Прогнозна оцінка одержується за формулою:

,

де – середній абсолютний приріст.

Екстраполяція за середнім темпом зростання виконується у випадку, коли є підстава вважати, що загальна тенденція динамічного ряду характеризується експоненціальною кривою. Прогноз , зроблений в момент часу на період упередження , у цьому випадку розраховується за формулою:

, (1.6)

де – середній темп зростання, розрахований за середньою геометричною .

Інтервал надійності прогнозу за середнім абсолютним приростом і середнім темпом зростання можна одержати тільки тоді, коли ці середні визначаються за допомогою статистичного оцінювання параметрів відповідно лінійної та експоненціальної кривої.

Метод ковзної середньої ( - "moving average"). Згладжування за допомогою ковзної середньої відбувається наступним чином. Початкові рівні часового ряду замінюються його середніми (згладженими) величинами , розрахованими для певної кількості рівнів ряду. Одержані значення відносяться до середини обраного інтервалу. Потім інтервал зсувається на одне спостереження і розрахунок повторюється. Інтервали визначення середньої беруться весь час однаковими.

Прогнозованому значенню на один період випередження відповідає останнє згладжене значення , яке було розраховане як ковзна середня -го порядку (як парного, так і не­парного ) за останніми даними часового ряду .

Як тільки нове спостереження стає відомим, воно включається в усереднення, а найстаріше – виключається. Розраховане ковзне середнє використовується для прогнозу на наступний період. Зазначимо, що згладжене значення у випадку стаціонарного ряду дорівнює прогнозу очікуваного значення показника в майбутньому не тільки на прогнозований період , а й на наступний період і далі.

Ковзна середня порядку т – це середнє значення т послідовних спостережень. В середніх величинах взаємно гасяться випадкові відхилення. Саме зменшення випадкового розкиду (дисперсії) якраз і означає згладжування відповідної траєкторії. Чим ширший інтервал ковзання, тим гладкішим виглядає тренд.

Зазначимо, що якщо часовий ряд є періодичним з періодом сезонності , тобто , то яким би не було t, = const. Ковзна середня 12-го порядку згладжує більшість сезонних коливань.

Вибір інтервалу згладжування залежить від специфіки вхідних даних. Окрім того, з його обранням пов’язане питання про техніку розрахунку ковзної середньої. Роз­раховані середні дані потрібно розміщувати в центрі інтервалу згладжування. При цьому, якщо непарне, то розрахована середня попадає в центр інтервалу згла­джування на фактично існуючий рівень часового ряду. Якщо - парне, то розраховану середню не можна віднести до жодного рівня ряду: вона буде розташована у центрі інтервалу між двома суміжними рівнями. Для того, щоб уникнути цієї незручності, додатково розраховують центровані ковз­ні середні (МAС) цих двох суміжних ковзних середніх.

Згладжений ряд коротший за початковий на ( ) спостережень. Оцінка дисперсії ковзної середньої дорівнює , де - оцінка дисперсії усіх членів вхідного ряду.

Точніші результати згладжування дає застосування методу зваженої ковзної середньої. Її оцінка в середині кожного інтервалу згладжування описується поліномом -го ступеня: . Параметри цього рівняння знаходять за методом найменших квадратів.

Метод ковзної середньої набув поширення для короткострокового прогнозування. Згладжування часових рядів за допомогою ковзної середньої дозволяє наочно визначити вид тренду. При більших значеннях коливання згладженого ряду помітно зменшується, але одночасно значно скорочується кількість спостережень. Цей недолік помітний при невеликій довжині ряду, або якщо необхідно зробити екстраполяцію на майбутнє. Окрім того, тренд, одержаний за допомогою ковзної середньої, не має кількісного виразу, тобто швидкість зміни ряду не відома. При невеликій кількості спостережень метод часто приводить до викривлення тенденцій, а вибір величини інтервалу згладжування буває важко обґрунтувати, хоча від цього залежить форма кривої. Одночасно зі зменшенням дисперсії у згладженому ряду можуть з’явитися систематичні коливання, обумовлені автокореляцією його послідовних значень аж до порядку (ефект Слуцького-Юла), тобто методи ковзної середньої можуть спричинити автокореляцію залишків, навіть якщо вона була відсутня у початкових даних.

Метод простого експоненціального згладжування. Метод експоненціального згладжування дає можливість описати такий розвиток процесу, коли най­більша вага надається останньому спостереженню, а вага решти спостережень спадає геометрично. Одержана в результаті середня відома як експоненціально зважена середня. Для спостережень прогноз наступного значення має вид:

, ,

де підсумок усіх ваг дорівнює 1, а - має назву параметр згладжування.

Практичний розрахунок експоненціальної середньої здійснюється за рекурентною формулою:

або ,

тобто у розрахунку нової експоненціальної середньої береться попередня експоненціальна середня та доля ( ) від різниці між минулим спостереженням та його згладженим значенням - похибки . Із надходженням нового спостереження розраховується прогноз , як експоненціальна середня наступного значення ; параметр обирається за умови мінімуму похибки прогнозу.

Математичні сподівання часового ряду та експоненціально згладженого ряду однакові, а дисперсія згладжених рівнів стає меншою за дисперсію початкового ряду спостережень: ,

,

тобто якщо наближається до одиниці, то різниця між дисперсіями невелика, однак зі зменшенням коливання експоненціальної середньої стають більш гладкими. Тим самим експоненціальна середня відіграє роль фільтру, який поглинає коливання часового ряду.

Використання методу експоненціального згладжування передбачає вирішення трьох питань: вибір постійної згладжування , вибір початкового рівня згладжування ряду , вибір початкового моменту згладжування (довжини, бази згладжування). Аналітичного розв’язку поставлених задач на сьогоднішній день не існує, та він навряд чи й можливий. Вибір характе­ристик згладжування повинен бути оснований на експериментальних розрахунках і здійснюватися у кожному конкретному випадку по-різному.

Адаптивні методи прогнозування часових рядів. Інструментом прогнозування в адаптивних методах є математична модель з одним чинником «час». Найважливіша її особливість полягає в тому, що це саморегулююча модель і з появою нових даних прогнози миттєво оновлюються без повторення всього обсягу обчислень спочатку.

В залежності від закладеної в модель гіпотези формування сподіваних значень розрізняють моделі адаптивних сподівань, неповного коригування, раціональних сподівань. Методи розрахунку досить складні, розглянемо лише підхід до цієї проблеми.

Із надходженням фактичного значення обчислюється помилка, розбіжність між прогнозованим і фактичним рівнем (довгострокова функція моделі): . В моделі передбачається, що зміна фактичного рівня є деякою часткою ( ) від очікуваної зміни . Параметр називається коригуючим коефіцієнтом або параметром адаптації. За критерій оптимальності при виборі параметру адаптації може бути узятий мінімум середнього квадрату суми помилок прогнозування. Чим ближчий до одиниці, тим більш сподівання економічних суб’єктів відповідають реальній динаміці часового ряду, і навпаки, чим ближче до нуля – тим менш володіємо ситуацією і треба вносити корективи.

Помилка прогнозу через обернений зв’язок надходить в модель і враховується в залежності з прийнятою системою переходу від одного стану в наступний. В результаті з’являються “компенсаційні” зміни, які дозволяють коригувати параметри моделі з метою більшого узгодження поведінки моделі з динамікою ряду. Наприклад, для лінійного тренду , експоненціальна середня першого порядку буде модифікована у модель: . Дане співвідношення називають короткостроковою функцією моделі.

Потім розраховується прогноз на наступний період, і процес повторюється знову. Таким чином, адаптація здійснюється ітеративно з одержанням кожної нової фактичної точки ряду. Модель постійно “всмоктує” інформацію і розвивається з урахуванням нових тенденцій, які існують на теперішній момент часу. Завдяки відміченим властивостям адаптивні методи особливо успішно використовуються для оперативного прогнозування.

В практиці статистичного прогнозування базовими адаптивними моделями вважаються моделі Брауна і Хольта, які відносяться до схеми ковзної середньої, та модель авторегресії. Усі інші адаптивні методи (метод адаптивної фільтрації (МАФ), метод гармонічних ваг тощо) розрізняються між собою способом оцінювання параметрів моделі та визначенням параметрів адаптації базових моделей.

Метод Хольта. Адаптивна модель за методом Хольта представляє динамічний процес у вигляді лінійно-адитивного тренду:

де - прогнозована оцінка рівня ряду , яка розраховується в момент часу на кроків вперед,

- оцінка поточного ( -го) рівня часового ряду,

=

- оцінка поточного приросту або тренду,

.

Припускається, що випадкові залишки е мають нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням та дисперсією .

Коефіцієнти лінійної моделі методом Хольта можуть розраховуватися за такими співвідношеннями:

, ,

де е_t - похибка прогнозу рівня обчислена в момент часу (t-1) на один крок вперед, .

Початкові значення параметрів моделі знаходяться за методом найменших квадратів на основі декількох перших спостережень. Оптимальні значення параметрів згладжування та визначаються методом багатовимірної числової оптимізації і являються сталими для усього періоду спостереження ( ).

Метод Хольта-Вінтерса. Цей метод, на відміну від методу Хольта, окрім лінійного тренду включає, ще й сезонну компоненту.

Прогноз на τ кроків вперед для адитивної форми моделі будується за формулою:

,

де s - коефіцієнт сезонності;

- період сезонного циклу (наприклад, за квартальними даними =4).

Розрахунок параметрів моделі виконують за співвідношеннями:

_{Експоненціально згладжений ряд або оцінка поточного рівня}

,

Оцінка тренду ,

_{Оцінка сезонності} ,

де - параметри згладжування (адаптації), ( ).

Мультиплікативна модель аналогічна адитивній моделі з тією лише різницею, що розраховані за лінійною моделлю прогнозні значе­ння коригують шляхом їх множення на сезонні коефі­цієнти. Прогноз на τ кроків розраховується за формулою:

,

а розрахунок параметрів робиться за співвідношеннями:

,

,

.

В процесі побудови моделі виконується числова оптимізація пара­метрів адаптації у межах [0; 1].

3.3.2. Плани семінарських, практичних занять, лабораторних робіт та методичні вказівки до їх виконання

Завдання для практичного заняття №3 „Прогнозування на основі згладжування часових рядів.” (2 год.)

За даними, наведеними у додатку 4 зробити прогноз економічного показника на наступний рік. У звіті з проведеної роботи повинні бути відображені наступні питання:

1. Побудова прогнозу тенденції часового ряду за наївними методами.

2. Екстраполяція за простою середньою, середнім абсолютним приростом (середнім темпом зростання).

3. Побудова прогнозу тенденції часового ряду за методом простої ковзної середньої. Як підібрати вікно згладжування?

4. Побудова прогнозу тенденції часового ряду за методом простого експоненціального згладжування. Як підібрати константу згладжування?

5. Побудова прогнозу тенденції часового ряду за методом Хольта.

6. Побудова прогнозу тренд-сезонного процесу за методом Хольта-Вінтерса.

7. Порівняльна характеристика застосованих методів прогнозування, на підставі аналізу підсумкових оцінок похибок прогнозування MSE, RMSE, MPE, MAPE.

8. Вибір найкращої моделі та побудова прогнозу. Розрахунок інтервалу надійності знайденого прогнозу.

9. Обґрунтування адекватності вибраної моделі прогнозування.