140

Тема 5. Прогнозування часових рядів за допомогою arima-моделей.

3.5.1. Методичні поради до вивчення теми 5

З даної теми передбачається вивчення таких питань:

• основні поняття про лінійні параметричні моделі часових рядів (ARІMA-моделі);

• аналіз часових рядів Бокса-Дженкінса;

• прогнозування процесів авторегресії й інтегрованої ковзної середньої (ARIMA- процесів).

Для самостійного вивчення цієї теми рекомендується література: [1,2].

Вивчення теми надасть студентам можливість ознайомитися з характеристиками лінійних параметричних моделей часових рядів; навчитися визначати тип ARІМА-моделі за допомогою автокореляційної (АКФ) та часткової (ЧАКФ) автокореляційної функції; вміти застосувати методику Бокса-Дженкінса для прогнозування процесів авторегресії й інтегрованої ковзної середньої.

Основні поняття про лінійні параметричні моделі часових рядів (ARІMA-моделі). Стаціонарні часові ряди можна представити широким класом лінійних параметричних моделей, ґрунтованих на припущеннях рівноваги процесу щодо постійного середнього рівня. Такі моделі дістали загальну назву авторегресійні інтегровані моделі ковзної середньої (ARIMA). Вони описують стаціонарний процес, який має три ознаки: p – порядок авторегресії, d – необхідний порядок інтегрування, тобто кількість разів взяття різниць для зведення початкового часового ряду до стаціонарного, q – порядок ковзної середньої в моделі. Найпоширенішими серед них є моделі авторегресії ( ), ковзної середньої ( ) та мішані ( ). Царина застосування цих моделей не обмежується стаціонарними процесами. Наприклад, ряди типу TS, DS можна звести до стаціонарних і описати модифікованою формою моделі , відомої як модель Бокса-Дженкінса.

Перевагою використання ARIMA-моделей є:

• поєднання різних моделей аналізу часових рядів у межах однієї, що дає змогу працювати з моделями невисоких порядків і суттєво розширює сферу практичного застосування їх;

• з’являється можливість розробляти модель за допомогою однакових статистичних характеристик – автокореляційних і часткових автокореляційних функцій, розробляти спільний алгоритм для обчислення параметрів моделі, однаковим чином будувати прогноз на підставі побудованої моделі тощо.

Загальна лінійна модель це стаціонарний процес у вигляді лінійної комбінації білого шуму з різними ваговими коефіцієнтами:

,

де − білий шум із обмеженими математичним сподіванням та дисперсією.

Середнє значення стаціонарного ряду = = 0, якщо це не так, то потрібно перейти до .

Із визначення стаціонарності процесу виходить, що його дисперсія обмежена і дорівнює . Звідси . Припускається, що =1. Чим більший ваговий коефіцієнт , тим більший вплив випадкового збурення в момент на поточний момент t.

Автоковаріація стаціонарного процесу також обмежена:

.

Загальна лінійна модель має такі властивості:

, , , .

Найважливішою є перша властивість, яка означає, що рівні часового ряду не корелюють із майбутніми збуреннями .

Загальна лінійна модель через оператор зсуву (лаговий оператор) має запис:

,

де лінійний оператор або операторний поліном. Коефіцієнт біля завжди дорівнює 1. Дія оператора зсуву дає значення часового ряду у попередні моменти часу: , . Іноді зручно використовувати нульову ступінь оператора зсуву: , яка виконує роль нульового оператора.

Для багаточлена , що діє на процес , визначають обернений оператор так, щоб їхній добуток дорівнював одиничному оператору: .

Обернений оператор до поліному має вигляд

, де .

Існування оберненого оператора до поліному випливає із умови , при , де замість допускається підставлення комплексних чисел.

Для процесу , за умови його оберненості, маємо можливість відтворити за значеннями :

,

тобто значення збурення є лінійною комбінацією поточного й минулих значень .

Підсумовуючи огляд загальної лінійної моделі, зазначимо, що цей лінійний процес є стаціонарним, якщо ряд є збіжним за умови , та може бути оберненим, якщо у цій самій області збігається ряд .

Будь-які різновиди -моделей є окремим випадком загальної лінійної моделі часового ряду, яка є базовою для теоретичних досліджень стаціонарних процесів. На практиці використовують окремі випадки цієї моделі із обмеженою кількістю параметрів ( та -моделі).

МА-модель (ковзної середньої). Стохастичний процес називають процесом ковзної середньої порядку (MA( )) якщо до загальної моделі входять лише складових:

= = ,

де випадкова величина − білий шум, − лінійний оператор, та ( ) невідомих параметрів треба оцінити на підставі вибіркових спостережень.

-процес − стаціонарний, оскільки є окремим випадком загальної лінійної моделі. За умови оберненості кожен скінчений MA( )-процес може бути представлений у вигляді нескінченного авторегресійного процесу:

.

Автокореляційну функцію використовують для визначення порядку (кількості лагових змінних) MA( )-процесу, оскільки коефіцієнти автокореляції порядку, більшого за , дорівнюють нулю.

Практичного застосування набули переважно процеси ковзної середньої першого ( ) та другого ( ) порядків.

AR-модель (авторегресійна). Модель авторегресії описує стаціонарний процес, де значення показника є лінійною комбінацією обмеженої кількості своїх попередніх значень і випадкової складової:

,

де випадкова складова − білий шум. Модель містить ( ) невідомі параметри: − дисперсію випадкової складової та коефіцієнтів моделі.

Процес, обернений до , може бути позначений як . Якщо припустити, що обернена форма загальної лінійної моделі містить обмежену кількість складових, тобто за , її рівняння після перепозначення коефіцієнтів матиме вигляд

,

де − поліном від оператора зсуву . Тепер операторний поліном діє на а не на і результат дорівнює . Тим самим маємо “дзеркальне відображення” процесу .

Процеси та мають певну схожість. Але процес завжди стаціонарний, і умова оберненості лише забезпечує йому певну корисну властивість. Для ця умова дуже жорстка: або процес стаціонарний і зводиться до , або він не стаціонарний.

Необхідною й достатньою умовою стаціонарності процесу є те, що всі корені його характеристичного рівняння знаходяться у межах кола одиничного радіусу.

Умова, що всі корені рівняння за модулем не перевищують одиницю, еквівалентна тій, що граничні значення та прагнуть до нуля за необмеженого зростання .

Дослідження коренів характеристичного рівняння можна також здійснити за допомогою аналізу авто­кореляційної функції. Свідоцтвом того, що це рівняння містить близький до одиниці корінь, є поступове згасання АКФ.

Практичного використання набули -процеси першого та другого порядків.

Мішані ARМА-процеси. Для досягнення мети кращого пристосування моделі до ряду спостережень застосовують мішані моделі авторегресії - ковзної середньої - -моделі:

,

або ,

де = , = .

Модель має бути якомога економною, тобто давати найкращу апроксимацію за допомогою невеликої кількості параметрів . Властивості -моделі є сумішшю властивостей та моделей. Стаціонарність -процесу визначається лише його -частиною. Як й для -процесу -процес стаціонарний, якщо всі корені характеристичного рівняння -частини (поліному ) за модулем не перевищують одиницю. Умова оберненості -процесу повністю визначається умовою оберненості -частини. Якщо -частина має обернену, то й для усього -процесу можна знайти обернене зображення. При цьому, якщо процес стаціонарний, він обов’язково має -зображення нескінченного порядку. Разом із тим, він має й скінченні зображення . Добуток моделі на дає -зображення нескінченного порядку.

Математичне сподівання стаціонарного -процесу дорівнює нулю. Зазначимо, що введенням в модель вільного члена можна врахувати ненульове, але стале, математичне сподівання.

Процеси авторегресії та інтегрованої ковзної середньої (ARIМА). Царина застосування розглянутих вище параметричних лінійних моделей не обмежується лише стаціонарними процесами. Є нестаціонарні ряди, які після взяття послідовних різниць зводяться до стаціонарних, а саме до виду . Моделі таких рядів отримали назву процеси авторегресії й інтегрованої ковзної середньої (ARIMA).

Наприклад, нестаціонарний ряд випадкового блукання, рівняння якого має вигляд: , після взяття першої різниці перетворюється на стаціонарний ряд AR(1): , де .

У полінома другого ступеня: , після взяття першої різниці ступінь поліному зменшується на одиницю:

.

Якщо узяти другу послідовну різницю, то одержимо стаціонарний процес: . Отже після того, як двічі до параболічної функції часу застосували послідовні різниці, процес перетворився на стаціонарний виду .

Розглянемо модель ,

де − нестаціонарний оператор авторегресії порядку , такий, що коренів рівняння дорівнюють одиниці, а решта коренів перебувають в межах одиничного кола; оператор ковзної середньої має порядок і може бути оберненим (усі його корені перебувають в межах одиничного кола). Тоді можна записати, що , де − стаціонарний порядку оператор авторегресії (тобто із коренями в межах одиничного кола). Або, якщо ввести оператор різниці ; , тоді запишеться як , і нестаціонарну модель можна представити у вигляді:

.

Тут - ту різницю ряду обчислюють за формулою:

_.

Вона задовольняє рівнянню

,

тобто вже є стаціонарним оберненим процесом .

Повернення до початкового нестаціонарного процесу можна одержати -кратним підсумком процесу , який є . Тому початковий процес називають процесом (додаючи до термін інтегрований ( )). Якщо у ньому оператор авторегресії має порядок , а оператор ковзної середньої має порядок , то скорочено модель записують як . Зокрема, за виходить змішана модель , за − модель авторегресії , за − модель ковзної середньої . Отже, модель охоплює широкий клас як стаціонарних (при ), так і нестаціонарних (при ) процесів. На практиці d є додатним цілим, яке не перевищує 2, або нулем, у разі стаціонарності .

Аналіз часових рядів Бокса-Дженкінса. Практичне використання -моделей здійснюється за методикою Г.Бокса та Г.Дженкінса, яка передбачає такі послідовні процедури: