- •Введение
- •Лабораторная работа ип1 Знакомство с Matlab
- •1. Рабочая среда Matlab
- •2. Данные Matlab
- •Типы данных
- •Числовые константы
- •Символьные константы
- •Переменные
- •3. Выражения
- •3.1. Арифметические выражения
- •3.2. Логические выражения
- •3.3. Порядок вычисления выражений
- •4. Сообщения об ошибках и исправление ошибок
- •5. Завершение вычислений
- •6. Завершение работы с системой
- •7. Резюме
- •8. Контрольные вопросы
- •9. Индивидуальные задания
- •Лабораторная работа ип2 работа с матрицами в matlab
- •1. Общие сведения
- •2. Одномерные массивы – векторы
- •3. Двумерные массивы – матрицы
- •4. Использование двоеточия
- •4.1. Автозаполнение
- •4.2. Индексация
- •5. Поэлементные и матричные операции
- •6. Стандартные функции для работы с матрицами
- •7. Логическое индексирование
- •8. Контрольные вопросы
- •9. Индивидуальные задания
- •10. Упражнения
- •2. Диалоговый ввод/вывод
- •3. Управление последовательностью исполнения операторов
- •3.1. Оператор условия if
- •3.2. Оператор переключения
- •3.3. Оператор цикла с определенным числом повторений
- •3.4. Оператор цикла с неопределенным числом повторений
- •4. Контрольные вопросы
- •5. Индивидуальные задания
- •Лабораторная работа ип4 визуализация данных в matlab
- •1. Общие сведения
- •2. Построение таблицы значений функции
- •3. Двумерная графика
- •3.1. Общие правила построения графиков
- •3.2. Оформление графиков
- •3.3. Построение графиков
- •3.4. Управление свойствами графиков
- •4. Трехмерная графика
- •4.1. Общие принципы построения трехмерных графиков
- •4.2. Построение трехмерных графиков
- •4.3. Управление свойствами трехмерных графиков
- •5. Контрольные вопросы
- •6. Индивидуальные задания
- •Лабораторная работа ип5 файл-функции
- •2. Описание m-функции
- •3. Обращение к m-функции
- •4. Параметры-функции
- •5. Разновидности m-функций
- •5.1. Подфункции
- •5.2. Вложенные функции
- •6. Контрольные вопросы
- •7. Индивидуальные задания
- •2. Аппроксимация
- •2.1. Моделирование полиномом по методу
- •2.2. Аппроксимация произвольной функцией
- •3. Интерполяция
- •3.1. Кусочная интерполяция
- •3.2. Кубические сплайны
- •3.3. Интерполяция произвольной нелинейной функцией
- •4. Контрольные вопросы
- •5. Индивидуальные задания
- •Лабораторная работа ип7 Вычисление функций разложением в ряд
- •1. Общие сведения
- •2. Индивидуальное задание
- •Лабораторная работа ип8 Решение нелинейных уравнений в среде Matlab
- •1. Общие сведения
- •2. Поиск корней полиномов
- •3. Решение одного нелинейного уравнения
- •4. Решение систем нелинейных уравнений
- •5. Контрольные вопросы
- •6. Индивидуальные задания
- •Лабораторная работа ип9 обмен данными с текстовым файлом
- •1. Общие сведения
- •2. Открытие файла
- •3. Запись в текстовый файл
- •3.1. Запись строковых значений
- •3.2. Запись числовых значений
- •4. Чтение из текстового файла
- •4.1. Последовательное чтение строк
- •4.2. Последовательное чтение нескольких символов
- •4.3. Чтение чисел из текстового файла
- •4.4. Альтернативный доступ к текстовому файлу
- •5. Закрытие файла
- •6. Контрольные вопросы
- •7. Индивидуальные задания
- •Заключение
- •Список рекомендуемой литературы
- •Программирование в matlab
- •428015 Чебоксары, Московский просп., 15
5. Поэлементные и матричные операции
Ранее было отмечено, что Matlab представляет числа в виде массива . Отсюда следует, что для операций над векторами и матрицами можно использовать те же знаки операций, что и для скалярных данных. Так, например, сложить два вектора одной размерности можно при помощи обычного "+"
>> x=1:4
x =
1 2 3 4
>> y=10:10:40
y =
10 20 30 40
>> z=x+y
z =
11 22 33 44
Векторы складываются поэлементно , , где т – длина суммируемых векторов. В результате сумма является вектором того же размера, что и векторы-слагаемые. Аналогично и для матриц. Сумма (разность) двух матриц равна матрице, каждый элемент которой есть сумма (разность) соответствующих элементов матриц-слагаемых размером : , , . Поэлементно можно применять к массивам элементарные математические функции (см. табл. 1.4), операции отношения и логические операции (см. табл. 1.5). Например, вычислить значения для с шагом 30° можно следующим образом:
>> x=0:pi/6:pi;
>> y=sin(x)
y =
0 0.5000 0.8660 1.0000 0.8660 0.5000 0.0000
Поскольку х – вектор-строка, то у будет вектором того же размера, что и х.
С операциями типа "умножение" (возведение в степень, умножение и деление) несколько сложнее. Дело в том, что в Matlab имеется два различных типа арифметических операций типа "умножение" – поэлементные и для массивов в целом (матричные). Матричные арифметические операции определяются правилами линейной алгебры. Например, поэлементное умножение матриц A и B размером выполняется в соответствии с равенством: , , . Матрицы-сомножители при таком умножении должны быть одно размера. Матричное же умножение двух матриц возможно только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением матрицы А размером на матрицу B размером является матрица с размером , каждый элемент i-ой строки и k-го столбца которой равен сумме локальных произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы А и k-го столбца матрицы B: , , . В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. ab ≠ ba. Возведение матрицы в целую степень р возможно только для квадратных матриц. Если р – положительное целое, то Ар эквивалентно умножению матрицы А саму на себя р раз. Операция вычисления матрицы а–1, называемая обращением матрицы а, возможна только для квадратной матрицы с определителем, не равным нулю. Если р – отрицательное целое, то Ар эквивалентно умножению обратной матрицы саму на себя р раз.
Знак точки "." отличает операции над элементами массивов от матричных операций. Сравните
A1=[2 3; 4 5]; A2=[1 4; 6 2]; %задаются матрицы 2×2
A3=a1*a2 % матричное умножение матриц
A3 =
20 14
29 28
A4=a1.*a2 % поэлементное умножение матриц
A4 =
2 12
30 8
Символ "%" отделяет комментарий (пояснительный текст) от команд.
>> a=[1 2 3; 0 4 5] % задается матрица 2×3
a =
1 2 3
0 4 5
>> a.^2 %поэлементное возведение в квадрат
ans =
1 4 9
0 16 25
>> a^2 %матричное возведение в квадрат
??? Error using ==> mpower
Matrix must be square.
Попытка возвести в квадрат прямоугольную матрицу вызвала ошибку использования матричного произведения с сообщением "Матрица должна быть квадратной".
Примеры наглядно демонстрируют, что для одних и тех же матриц результаты поэлементных и матричных операций типа "умножение" разные! Арифметические операции типа "сложение" над массивами всегда выполняются поэлементно, поэтому операции ".+" и ".-" не существуют.
В математике не определена операция деления матриц и векторов. Но в Matlab символы / и \ используются для решения матричных уравнений. Операция b/a эквивалентна операции b*inv(a), где функция inv осуществляет обращение матрицы. Эту операцию удобно использовать для решения матричного уравнения . Операция а\b равносильна операции inv(a)*b, которая представляет собой решение матричного уравнения . При помощи оператора / можно поделить вектор или матрицу на число. Например
>> v=4:2:10
v =
4 6 8 10
>> w=v/2
w =
2 3 4 5
Попытка поделить число на вектор или матрицу вызовет ошибку
>> q=2/v
??? Error using ==> mrdivide
Matrix dimensions must agree.
Matlab сообщает об ошибке использования матричного деления. Размеры матриц должны быть согласованы.
А вот операция поэлементного деления пройдет в обоих случаях.
>> q=2./v
q =
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
Здесь значение 2 было поочередно поделено на каждый из элементов вектора v. И каждый из элементов вектора может быть поделен на 2
>> w=v./2
w =
2 3 4 5
Из примеров видно, что при делении или умножении вектора (матрицы) на скаляр поэлементные операции не отличаются от матричных
>> w=v/2
w =
2 3 4 5
т.е. точку перед знаком операции в этих случаях ставить не обязательно.