3. Расчет математического ожидания и среднеквадратического отклонения сигнала ошибки

Замена нелинейного звена линеаризованной моделью позволяет использовать принцип суперпозиции - провести раздельный анализ преобразования системой детерминированных и случайных составляющих входных сигналов. Особенность применения принципа суперпозиции на основе статистической линеаризации состоит в том, что для случайных составляющих нелинейное звено заменяется безынерционным звеном с коэффициентом k₁, а для детерминированных - безынерционным звеном с коэффициентом k₀ (при нечетной нелинейности) или постоянным сигналом ₀.

Определяемые по полученным выше формулам коэффициенты статистической линеаризации оказываются функциями моментов распределения сигналов на входе нелинейности, которые, в свою очередь, вычисляются через передаточные функции системы, включающей в себя линеаризованное звено, то есть зависят от коэффициентов статистической линеаризации. Вследствие этого расчет стационарного процесса в статистически линеаризованной системе сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, требующему применения численных методов.

Для заданной системы (рисунок 1) передаточная функция линейной части:

.

Задающее воздействие изменяется по закону g(t)=g1(t). На входе действует случайная помеха F(t) с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью . Требуется определить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение сигнала ошибки в установившемся процессе.

Выделим детерминированную и случайную составляющие сигнала ошибки: . С учетом характера входных сигналов и в соответствии с принципом суперпозиции составляющие сигнала ошибки в линеаризованной системе будут определяться следующим образом:

m_x(t)= x_gуст, .

Для расчета детерминированной составляющей сигнала ошибки после линеаризации используется структурная схема (рис. 4,а), а для расчета центрированной случайной составляющей - структурная схема (рис. 4,б), где

,

=k₁(m_x,σ_x).

Для полученных структурных схем искомые характеристики сигнала ошибки определяются следующим образом: m_E=m_x, D_E=D_Y.

При расчете детерминированной составляющей передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид:

.

В результате: .

Среднеквадратическое отклонение сигнала ошибки в рассматриваемой задаче полностью определяется возмущающим воздействием и находится через дисперсию выходного сигнала и передаточную функцию замкнутой системы по возмущению, которая в рассматриваемом примере примет вид:

.

В результате:

,

Коэффициенты полиномов (1) примут вид:

a₀=T₁T₂, , ,

, b₀=0, b₁=0, .

Определители (3) будут иметь третий порядок и получаются следующими:

=

.

В результате:

При заданных k, T и c для расчета характеристик ошибки необходимо решить систему нелинейных алгебраических уравнений:

m_E= ,

,

,

_.

4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ

С помощью программы, написанной на языке MATLAB, решив систему методом последовательных приближений, мы найдем зависимости коэффициентов статистической линеаризации, математического ожидания и среднеквадратического отклонения ошибки системы E(t) от величины коэффициента передачи k. Для нахождения зависимости M от k использована функция MATLAB fzero. Текст программы представлен в приложении А. Графики зависимостей представлены на рисунках 5-9.

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 7

Рисунок 8

Рисунок 9