2. Статистическая линеаризация нелинейной части системы
Статистической линеаризацией называется построение линейной модели нелинейного звена системы управления с учетом характеристик преобразования случайного сигнала линейной частью системы (рисунок 2).
М
Для однозначной нелинейности общего вида статистически линеаризованная модель имеет вид: .
Для однозначной нечетной относительно входного сигнала нелинейности (-x)=-(x) коэффициент 0 выражают через математическое ожидание входного сигнала: 0 = k0mx.
Коэффициент 0 называется средней статистической характеристикой нелинейности; коэффициент k0 - статистическим коэффициентом усиления по математическому ожиданию; коэффициенты k1 - статистическим коэффициентам усиления по случайным составляющим входных сигналов.
Значения коэффициентов статистической линеаризации определяют на основе критериев вероятностной эквивалентности. Обычно используют два критерия.
Первый критерий состоит в равенстве математических ожиданий и дисперсий сигналов на выходе статистически линеаризованного и исходного нелинейного звеньев. Для однозначной исходной нелинейности имеем:
,
,
где f(x) - ПРВ сигнала X на входе нелинейного звена.
Математическое ожидание выходного сигнала линеаризованного звена M[Y] равно 0 (или k0mx для нечетной нелинейности), а его дисперсия D[Y] связана с дисперсией и среднеквадратическим отклонением входного сигнала в соответствии с (4.15):
В результате получим:
или , (4)
. (5)
Знак в формуле соответствует знаку производной в точке, соответствующей mx.
Второй критерий состоит в минимизации среднего квадрата ошибки аппроксимации выходного сигнала нелинейного звена выходным сигналом линеаризованного звена:
.
Раскроем скобки в выражении для 2 и применим к нему первое необходимое условие экстремума по 0 и k1:
,
,
.
Решение полученных уравнений дает выражения для определения 0 и k1, доставляющих минимум 2:
,
. (6)
Обычно рекомендуют вычислять k1 как среднее арифметическое:
,
где - значение, получаемое на основе первого критерия по (4.20); - значение, получаемое на основе второго критерия по (4.21).
Все полученные расчетные соотношения для определения коэффициентов статистической линеаризации предусматривают использование ПРВ сигналов на входе линеаризуемого звена. В силу допущения о наличии у линейной части системы свойства фильтра, обычно используется ПРВ нормального закона распределения.
В курсовой работе задано нелинейное звено с однозначной статической характеристикой типа двухпозиционного реле (рисунок 3).
Его линеаризация выполняется в форме . Для определения k0 применим формулу (4):
,
где - стандартизованная нормальная величина. И далее:
,
где Ф(u) - интеграл вероятностей, рассмотренный в разд. 3.
Аналогично на основе (5), (6) можно получить:
,
.