БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "ВОЕНМЕХ"
им. Д. Ф. УСТИНОВА
Кафедра И3
КУРСОВая работа
по учебной дисциплине Спецглавы теории автоматического управления
на тему Параметрический синтез нелинейной стохастической системы
студентки _____________Цыкиной Юлии Николаевны__________
Фамилия , Имя , Отчество студента
группы ______И361________
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
_Емельянов
В.Ю.__ /
______________ /
Фамилия И.О.
Подпись
“___"
_________________ 2009
г.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2009 г.
СОДЕРЖАНИЕ
|
|
|
|
стр. |
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|||
1 |
ПОРЯДОК РАСЧЕТА УСТАНОВИВШЕГОСЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ . . . . . . |
4 |
||
2. |
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ |
7 |
||
3. |
РАСЧЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ СИГНАЛА ОШИБКИ |
11 |
||
4. |
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ |
14 |
||
ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . |
17 |
|||
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ |
18 |
|||
ПРИЛОЖЕНИЕ А |
19 |
Введение
Задана структурная схема системы (рисунок 1)
и передаточная функция детерминированной части:
.
Задающее воздействие детерминированное: .
Помеха - стационарная случайная функция с математическим ожиданием, равным нулю, и спектральной плотностью
.
Требуется:
1. Рассчитать зависимости математического ожидания и дисперсии ошибки системы от величины коэффициента передачи в установившемся процессе. Автоколебания в системе считаются недопустимыми .
2. Выбрать оптимальное значение из условия минимума границы значений по вероятности: .
Исходные данные представлены в таблице.
-
T1
T2
g
v
D
0,5
3
3
0
5
1
1. Порядок расчета установившегося случайного процесса в системе управления
Для расчета установившегося случайного процесса в системе при стационарных случайных воздействиях применяется спектральный метод.
Данный аналитический метод, называемый также методом передаточных функций, детально развит в рамках теории автоматического управления [1,2] и основан на использовании структурно-динамических схем систем и спектральных плотностей случайных процессов. Непосредственное использование спектральных плотностей возможно только для стационарных процессов. Поэтому данный метод позволяет строить модели процессов, соответствующих некоторым установившимся режимам в стационарных системах при стационарных воздействиях.
Применение данного метода основано на использовании двух свойств линейных систем:
1. Реакция линейной системы на совокупность входных воздействий может быть определена как сумма ее реакций на каждое из них в отдельности (принцип суперпозиции).
2. Случайный сигнал на выходе физически реализуемого линейного динамического звена имеет закон распределения, близкий к нормальному (свойство фильтра).
Второе свойство, строго говоря, имеет место при следующем соотношении между порядком знаменателя n и числителя m передаточной функции звена или системы: n – m ≥ 2. Однако его обычно используют во всех случаях, когда выполняется условие физической реализуемости n–m ≥ 1.
Благодаря указанным свойствам оказывается возможным изолированно рассматривать преобразование линейной системой детерминированных и центрированных случайных составляющих входных сигналов и ограничиваться для выходного сигнала или ошибки системы нахождением только математического ожидания и дисперсии, полностью определяющих нормальный закон распределения. Для оценки корреляционных свойств выходных сигналов используются корреляционные функции и спектральные плотности.
Каждый случайный входной сигнал преобразуется в сумму:
,
где mg(t) - детерминированная составляющая, или математическое ожидание входного сигнала; - центрированная случайная составляющая входного сигнала (случайный процесс с нулевым математическим ожиданием).
Модель преобразования детерминированной составляющей строится на основе стандартного аппарата передаточных функций:
L[my(t)] = Φ(p)L[mg(t)],
где L[mg(t)], L[my(t)] - изображения по Лапласу детерминированных составляющих соответственно входного и выходного сигналов; Φ(p) - передаточная функция звена или системы.
Выходной сигнал в установившемся процессе может быть определен по теореме о конечном значении:
Например, при mg(t)=const для асимптотически устойчивой системы получим: my=Φ(0)mg=const.
Модель преобразования центрированной случайной составляющей строится для спектральных плотностей
Sy(ω)=|Φ(jω)|2Sg(ω),
где спектральная плотность входного сигнала определяется по его корреляционной функции
По полученной спектральной плотности выходного сигнала находят его дисперсию:
Этот интеграл обычно удается привести к форме:
,
где hn(jω)=b1(jω)2n-2 +b2(jω)2n-4 +...+bn, gn(jω)=a0(jω)n +a1(jω)n-1 +...+an. (1)
Тогда:
, (2)
где ∆n - n-й определитель Гурвица для многочлена gn(p) [3], а ∆'n получается из ∆nзаменой 1-й строки коэффициентами многочлена hn. Например, при n=4
, . (3)
Для системы с несколькими случайными входными сигналами, если они не коррелированы между собой, математическое ожидание и дисперсия выходного сигнала определяются на основе принципа суперпозиции:
,
,
где и - математическое ожидание и спектральная плотность k-го входного сигнала (задающего или возмущающего воздействия); ; - передаточная функция системы от k-го входа к выходу.
Таким образом, выходной сигнал определяется в форме , причем центрированная случайная составляющая описывается дисперсией Dy.
Аналогичный подход используется при нахождении ошибки системы. Она определяется в форме: . Пусть на систему действуют детерминированное задающее воздействие g(t) и несколько некоррелированных случайных возмущений , k=1,2,…,K.
Тогда математическое ожидание ошибки определяется в виде суммы:
,
где , , Φx(p) - передаточная функция системы по ошибке от задающего воздействия, - передаточная функция системы по k-му возмущающему воздействию, k=1,2,...,K.
Дисперсия ошибки совпадает с дисперсией выходного сигнала.