§ 2. Теорема о существовании и единственности решения ду 1-го порядка

Пусть имеем дифференциальное уравнение первого порядка: y′ = f(x, y). Для такого уравнения Теорема о существовании и единственности решения принимает вид:

Теорема: (1.1)

Если функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости OXY, содержащей точку (x0,y0), то существует единственное решение этого уравнения y=φ(x), удовлетворяющее условию: φ(x0)=y0 .

Замечание: доказательство Теоремы представлено в Пособии, ее понимание и толкование на экзамене предполагается!

Заметим, что получение решения ДУ в виде явной функции y=φ(x) следует рассматривать как самый простой случай, который не часто наблюдается. Учитывая возможности вычисления неопределенных интегралов, следует учесть также, что «берущихся интегралов» совсем немного. Это значит, что получить аналитическое выражение решения чаще не удается. Мы будем считать, что ДУ решено даже в случае, когда удалось просто расставить символы интегрирования! Все эти случаи объединим одним общим «выражением»:

Ф(x,y,С)=0 – общий интеграл (С – произвольная постоянная).

Имея определение «общего решения», определим понятие «частного» решения ДУ.

Определение: (1.4)

Частным решением дифференциального уравнения n-го порядка называется: 1). Функция y=y(x,С1,С2,… , Сn) решения ДУ при любых частных значениях постоянных С1,С2,… , Сn; 2). Любая функция, которая обращает ДУ в тождество.

Выражение Ф(x,y,С)=0 общего интеграла ДУ при С=С₀ называют частным интегралом. Так как на плоскости OXY решение y=y(x,С) при любом значении С изображается кривой, то каждую их них называют интегральной кривой. То же говорят и в случае использования выражения Ф(x,y,С)=0.

Восприятию Теоремы 1.1 способствует использование понятий «поле направлений» и «изоклины». Воспользуемся дифференциальным уравнением в виде: y′ = f(x, y).

Поле направлений: если выделена некоторая точка плоскости (x₀,y₀), то это определяет число = k₀ = f(x₀,y₀). Учитывая, что геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной к кривой в выделенной точке, можем сказать, что уравнение y′ = f(x, y) определяет «поле направлений» на плоскости OXY. Это поле можно сделать видимым в выделяемых точках, если в каждой точке построить коротенькую черточку.

Изоклины: линия, определяемая уравнением k₀=f(x,y), называется изоклиной, так как в каждой ее точке направление поля, определяемого уравнением y′=f(x, y), имеет постоянную величину k₀. Использование изоклины для построения поля направлений бывает удобно, так как все «черточки» касательных на ней параллельны!

§ 3. Простейшие задачи, вытекающие из определения ду 1-го порядка

Задача-1. Пусть заданы: ДУ в виде y′=f(x,y), или F(x,y,y′), а также функция y=φ(x). Нужно определить является ли решением заданного ДУ.

Решение: Так как функция y=φ(x) должна превращать в тождество дифференциальное уравнение 1-го порядка, то подставлять в уравнение необходимо не только саму функцию, но и ее производную y′. Это определяет общую схему решения задачи:

1). Пусть имеем дифференциальное уравнение F(x,y,y′)=0 и необходимо проверить является ли данная функция y=φ(x) решением этого уравнения.

2). Вычисляем производную заданной функции y′= φ′(x).

3). Подставляем в уравнение функцию y=φ(x) и ее производную y′= φ′(x).

4). Если уравнение F(x,φ(x),φ′(x)) = 0 обратилось в тождество, функция y = φ(x) является решением уравнения F(x,y, )=0, иначе – не является.

5). Записываем ответ: функция y=φ(x) является (не является) решением заданного ДУ.

Ответ: Является (Не является).

Задача-2. Пусть задано семейство кривых: y=φ(x,С). Построить ДУ, для которого это семейство является решением..

Решение: при выполнении задания необходимо знать, что семейство кривых может быть задано в виде функции с параметром: y=φ(x,С). Оказывается можно построить дифференциальное уравнение F(x, y, y′)=0, решением которого является функция y = φ(x,С).

Общая схема выполнения задания такова:

1). Пусть имеем семейство кривых y=φ(x,С).

2). Вычислим производную y′=φ′(x,С).

3). Имея систему: исключим параметр С из первого выражения, используя второе, или наоборот (способ каждый выбирает сам!):

а) выразим из y=φ(x,С) параметр С=f₁(x,y) и подставим его выражение для производной y′=φ′(x,С); полученное выражение y′=φ′(x,f₁(x,y)) является искомым дифференциальным уравнением, для которого решением является заданное семейство кривых y=φ(x,С);

б) выразим из y′=φ′(x,С) параметр С=f₂(x,y′) и подставим его выражение для семейства кривых y=φ(x,С); полученное выражение y=φ(x,f₂(x,y′)) является искомым дифференциальным уравнением, для которого решением является заданное семейство кривых y=φ(x,С);

5). Записываем ответ: семейство кривых y=φ(x,С) определяет дифференциальное уравнение: y′=φ′(x,f₁(x,y)) - из п. 3_а) (или y=φ(x,f₂(x,y′)) - из п. 3_б)).

Ответ: Запись найденного ДУ (записи у разных авторов могут отличаться, не принципиально!).