§ 2. Поверхностные интегралы второго рода
Определение. Пусть в каждой точке двухсторонней поверхности задана функция . Выберем на поверхности сторону поверхности (верхнюю или нижнюю).
Разобьём поверхность сетью простых кривых на ячейки , которые проектируются на плоскость в ячейки с площадями . Наибольший из диаметров ячейки назовём рангом дробления и обозначим его . В каждой частичной ячейке возьмём произвольную точку и вычислим в ней значение функции . Умножим на площадь проекции ячейки на плоскости , т.е. составим произведение и составим интегральную сумму для верхней и для нижней стороны поверхности соответственно:
и .
Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, будем искать предел
.
Если этот предел, не зависящий от способа дробления и выбора точек , существует, то он называется поверхностным интегралом второго рода соответственно по верхней и по нижней стороне поверхности и обозначается
.
Аналогично определяются интегралы и , причём принято обозначение
,
где все интегралы берутся по одной и той же стороне поверхности.
Свойства поверхностных интегралов очевидно. Отметим только, что если поверхности представляет собой цилиндрическую поверхность, образующие которой перпендикулярны плоскости , то .
Это с очевидностью следует из определения поверхностного интеграла второго рода.
1. Теорема существования поверхностного интеграла второго рода
Теорема. Если двухсторонняя поверхность задана уравнением , причём и частные производные и существуют и непрерывны в простой области плоскости и если в каждой точке поверхности задана непрерывная функция , то поверхностный интеграл по верхней и нижней стороне поверхности существует и выражается через двойной интеграл для верхней стороны поверхности :
и соответственно для нижней стороны поверхности :
.
Пример. Вычислить по нижней стороне поверхности , заданной уравнением над областью , ограниченной прямыми (рис. 3).
Р ешение. В соответствии с теоремой существования и принимая во внимание, что поверхностный интеграл берётся по нижней стороне поверхности , получим
2. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
Будем рассматривать поверхностные интегралы первого и второго рода по двухсторонней поверхности , нормаль к которой образует углы , и соответственно с координатными осями , и . Покажем, что
, (1)
причём здесь через обозначен угол нормали, входящей в выбранную сторону поверхности интегрирования в интеграле, стоящем слева, с осью .
Для доказательства перейдём в интегралах, стоящих в левой и правой частях равенства (1), к двойному интегралу в силу теоремы существования, считая, что двухсторонняя поверхность задана уравнением , причём , и определены и непрерывны в простой области плоскости , тогда получим
,
.
Мы видим, что правые части этих равенств совпадают, следовательно, совпадают и левые, т.е.
.
Аналогично можно доказать и такое, более общее, соотношение:
где через , и обозначены углы нормали, входящей в выбранную сторону поверхности интегрирования, в интегралы, стоящие слева, с координатными осями , и , а интегралы, стоящие в правой и левой частях равенства, существуют.