- •Часть IV
- •Санкт-Петербург
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Действия с матрицами
- •2. Определители
- •3. Обращение квадратных матриц
- •4. Ранг матрицы
- •4.1. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.
- •4.3. Любой ряд матрицы можно представить в виде линейной комбинации параллельных базисных рядов.
- •4.4. Для того чтобы определитель квадратной матрицы был равен нулю, необходимо и достаточно,
- •5. Системы линейных уравнений
- •5.3.7. Если (система имеет бесчисленное множество решений), то каждому набору
- •5.4.1. Теорема Крамера
- •5.4.2. Если система 5.4. - однородна, то она имеет ненулевое решение в том и только в том случае,
- •5.5. Метод обратной матрицы
- •6. Векторное n-мерное пространство
- •7. Собственные числа и собственные векторы
- •Выпуклые множества
- •- Выпуклое множество.
- •- Выпуклое множество.
- •9. Производная по направлению, градиент
- •9.1. Градиентом данной функции в данной будем называть вектор, координатами
- •9.3. Наискорейшее возрастание функции происходит при движении от данной точки в направлении градиента.
- •9.4. Градиент функции в данной перпендикулярен к касательной линии уровня в этой точке.
- •10. Векторы и системы линейных уравнений в экономике
- •10.1. Модель Леонтьева (основная задача межотраслевого баланса)
- •10.2. Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •11. Метод полного исключения для решения системы линейных уравнений
- •3. Третий шаг решения (III шаг) состоит в том, что неизвестная исключается из всех уравнений кроме третьего, а в третье должна входить с коэффициентом единица.
- •Литература
9.4. Градиент функции в данной перпендикулярен к касательной линии уровня в этой точке.
Линия уровня или кривая безразличия это множество всех точек в области определения функции в которых функция принимает одно и то же значение z0.
Пусть , тогда уравнение линии уровня, прохоящей через эту точку.
Продифференцируем последнее равенство по х, тогда получим: , следовательно угловой коэффициент касательной к линии уровня в можно вычислить по формуле Направляющие косинусы вектора равны соответственно
, следовательно .
касательной .
10. Векторы и системы линейных уравнений в экономике
10.1. Модель Леонтьева (основная задача межотраслевого баланса)
Пусть в стране работает n отраслей народного хозяйства(n N): S1, S2, ..., Si, ..., Sn.
Продукция каждой отрасли используется тремя способами:
- внутри самой отрасли,
- в других отраслях,
- как конечный продукт, направляемый на продажу внутри и вне страны.
Пусть известны также затраты отрасли Si, потребные отрасли Sj для выпуска одной единицы своей продукции, и пусть они равны aij, (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Это значит, что задана квадратная матрица n-го порядка (An x n), которую называют матрицей прямых затрат:
.
Основную задачу межотраслевого баланса (модель Леонтьева) можно сформулировать следующим образом.
Требуется определить необходимый объем выпуска продукции каждой отрасли так, чтобы обеспечить в каждой отрасли запланированный объем выпуска конечного продукта.
Если bi - запланированный объем выпуска конечного продукта в отрасли Si, то весь конечный продукт можно задать
вектором Вnx1, который называют вектором конечного продукта по отраслям: .
Пусть xi - искомый объем выпуска отрасли Si, тогда объем выпуска по отраслям можно задать вектором валового выпуска
по отраслям: .
В этих обозначениях задача имеет вид :
.
Уравнение называют моделью Леонтьева.
Ясно, что все матрицы в модели Леонтьева имеют только неотрицательные элементы.
Матричное уравнение (*) можно записать также в виде системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матрица этой системы Q = E - A. Если матрица S - невырожденная, то система (*) имеет единственное решение:
.
Матрицу Q-1 называют матрицей полных затрат. Каждый j-й столбец этой матрицы показывает затраты на производство единицы конечного продукта соответствующей отрасли.
Модель Леонтьева (*) и матрицу ее прямых затрат (А) называют продуктивными, если для любого вектора конечных продуктов найдется вектор необходимого выпуска продукции по отраслям .
Критерии продуктивности:
Пример.
Допустим, что имеются всего две отрасли народного хозяйства (n=2) : энергетика и машиностроение. Энергетика запланировала валовый выпуск конечного продукта на сумму 144 млн рублей, а машиностроение - на сумму 123 млн рублей. Каждый млн. рублей валового выпуска конечной продукции энергетической отрасли требует 0,07 млн. рублей затрат валового выпуска своей отрасли и 0,12 млн. рублей затрат валового выпуска отрасли машиностроения. Каждый млн. рублей валового выпуска конечной продукции отрасли машиностроения требует 0,14 млн. рублей и 0,10 млн. рублей от энергетики и машиностроения. Требуется определить валовый выпуск продукции по отраслям, обеспечивающий запланированный валовый выпуск готового продукта. Из условий задачи следует, что вектор конечного продукта , матрица прямых затрат , единичная матрица , искомый вектор валового выпуска по отраслям .
Критерии продуктивности выполняются, следовательно, для решения этой задачи можно использовать модель Леонтьева : .
В условиях решаемой задачи получим:
.
Ответ: При данной матрице прямых затрат валовый выпуск конечного продукта в энергетике в объеме 144 млн. рублей, а в машиностроении в объеме 123 млн. рублей можно обеспечить, если общий валовый выпуск в энергетике будет 179 млн. рублей, а в машиностроении - 160,5 млн. рублей