- •Часть IV
- •Санкт-Петербург
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Действия с матрицами
- •2. Определители
- •3. Обращение квадратных матриц
- •4. Ранг матрицы
- •4.1. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.
- •4.3. Любой ряд матрицы можно представить в виде линейной комбинации параллельных базисных рядов.
- •4.4. Для того чтобы определитель квадратной матрицы был равен нулю, необходимо и достаточно,
- •5. Системы линейных уравнений
- •5.3.7. Если (система имеет бесчисленное множество решений), то каждому набору
- •5.4.1. Теорема Крамера
- •5.4.2. Если система 5.4. - однородна, то она имеет ненулевое решение в том и только в том случае,
- •5.5. Метод обратной матрицы
- •6. Векторное n-мерное пространство
- •7. Собственные числа и собственные векторы
- •Выпуклые множества
- •- Выпуклое множество.
- •- Выпуклое множество.
- •9. Производная по направлению, градиент
- •9.1. Градиентом данной функции в данной будем называть вектор, координатами
- •9.3. Наискорейшее возрастание функции происходит при движении от данной точки в направлении градиента.
- •9.4. Градиент функции в данной перпендикулярен к касательной линии уровня в этой точке.
- •10. Векторы и системы линейных уравнений в экономике
- •10.1. Модель Леонтьева (основная задача межотраслевого баланса)
- •10.2. Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •11. Метод полного исключения для решения системы линейных уравнений
- •3. Третий шаг решения (III шаг) состоит в том, что неизвестная исключается из всех уравнений кроме третьего, а в третье должна входить с коэффициентом единица.
- •Литература
7. Собственные числа и собственные векторы
Пусть дано векторное пространство Rn.
Если существует правило (L), по которому любому вектору X Rn ставится в соответствие единственный вектор Y Rn, то такое правило называют оператором
или преобразованием в пространстве Rn, причем вновь полученный вектор Y называют образом данного вектора Х, а данный вектор Х называют прообразом вновь полученного вектора Y.
Зададим квадратную матрицу n-го порядка А. И пусть преобразование состоит в том, что каждому вектору X Rn ставится в соответствие вектор
7.1.
.
Матрицу А, осуществляющую это преобразование называют матрицей оператора L.
Если оператор задан квадратной матрицей А, то он обладает двумя очень важными свойствами:
7.2. При сложении прообразов образы тоже складываются
.
7.3. Если прообраз умножить на скаляр, то образ тоже умножится на этот скаляр
.
Если оператор обладает свойствами 7.2. и 73., то его называют линейным оператором. Следовательно, квадратную матрицу n-го порядка А, столбцами которой являются базисные векторы пространства Rn, можно рассматривать как матрицу линейного оператора. При этом переход к новому базису преобразует эту матрицу в матрицу , где Р - матрица перехода к новому базису, причем координаты новых базисных векторов в старом базисе образуют ее столбцы.
Векторному пространстве Rn могут принадлежать такие векторы Х, для которых действие линейного оператора с матрицей А равносильно умножению на число.
7.4. Если для данного вектора Х и данного линейного оператора с матрицей А найдется такое число, для которого выполняется условие , то такой вектор Х называют собственным вектором матрицы А, а число - ее собственным числом.
Если дана матрица линейного оператора А, то все собственные числа этой матрицы можно найти из матричного уравнения . В этом уравнении Е - единичная матрица, О - нулевой вектор. Оно равносильно однородной системе линейных уравнений, которая имеет ненулевое решение только в том случае, когда определитель системы равен нулю: . Это уравнение называют характеристическим уравнением матрицы (оператора).
Левая часть характеристического уравнения преобразуется в многочлен n-ой степени относительно неизвестного . Такое уравнение имеет ровно n корней среди которых могут быть или не быть вещественные корни. Если окажется, что все корни вещественные различные, то матрица имеет n различных вещественных собственных чисел.
Если матрица линейного оператора - симметрическая, то все ее собственные числа являются вещественными числами, а собственные векторы, соответствующие любым двум собственным числам ортогональны.
Если в качестве базиса можно выбрать собственные векторы, то переход к этому базису приведет матрицу линейного преобразования к диагональному виду:
,
где Р - матрица перехода к новому базису, столбцами которой являются собственные векторы, а i - их собственные числа.
Пример. Пусть линейный оператор задан матрицей .
Тогда характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид: или или .
Корни этого уравнения и являются собственными числами данной матрицы.
Теперь найдем собственные векторы для каждого собственного числа.
Пусть , а собственный вектор для него , тогда или
Определитель этой однородной системы отличен от нуля, следовательно она имеет бесчисленное множество решений, например: x1=-u; x2=3u, где u - параметр. Следовательно собственному числу соответствует бесчисленное множество собственных векторов вида .
Аналогичные вычисления приводят к определению собственных векторов для из системы
Получаем: x1=3v, x2=v, где v - параметр. Таким образом установили, что собственному числу соответствует бесчисленное множество собственных векторов вида .
Уравнение имеет единственное (нулевое) решение, следовательно векторы X1 и X2 линейно независимы.
Скалярное произведение векторов , следовательно векторы X1 и X2 ортогональны и значит они образуют ортогональный базис пространства R2.
Пусть собственные векторы X1 и X2 образуют теперь новый базис, тогда матрица перехода к новому базису будет иметь вид: . Обратная ей матрица и в новом базисе матрица линейного оператора будет иметь вид: .
Таким образом матрица линейного оператора приведена к диагональному виду, причем диагональными элементами являются ее собственные числа.