- Выпуклое множество.

Примеры выпуклых множеств:

прямая в , плоскость в , гиперплоскость в , пространство , полупространство в , пересечение полупространств.

Определение Выпуклое множество будем называть ограниченным, если ограничены все координаты всех его точек.

Примеры Гиперплоскость, полупространство и пространство – неограниченные множества.

P

O S

- ограниченное множество.

9. Производная по направлению, градиент

Рассмотрим функцию , которая определена, непрерывна и дифференцируема в заданной области D.

Внутри области выберем произвольную области D.

9.1. Градиентом данной функции в данной будем называть вектор, координатами

которого являются частные производные этой функции, вычисленные в этой точке.

.

Зададим вектор следующим образом: .

Выберем в области D произвольную так, чтобы выполнялось условие: .

Если - переменные, то точка М будет перемещаться по области в данном направлении .

М

М₀

О

Из заданных условий следует:

.

Полное приращение функции , где - бесконечно малые более высокого порядка малости, чем .

Пусть .

Скорость изменения функции при движении точки от в данном направлении измеряется с помощью специальной производной, которую называют “производная по направлению”.

9.2. Производной по направлению данной функции в данном направлении , вычисленной в данной точке будем назывть предел отношения полного приращения функции к вызвавшему его приращению вектора-направления , при условии, что последнее стремится к нулю, а также при условии, что такой предел существует и конечен.

.

.

9.3. Наискорейшее возрастание функции происходит при движении от данной точки в направлении градиента.

, поэтому принимает максимальное значение, когда .